Integral mit partieller Integration berechnen, Nachfrage

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden Integrale

Text erkannt:

(a) \( \int x^{2} e^{x} \mathrm{~d} x \),

Problem/Ansatz:

Hier die Lösung zu der Aufgabe:

Text erkannt:

(a)
\( \begin{aligned} \int x^{2} e^{x} \mathrm{~d} x & =x^{2} e^{x}-\int 2 x e^{x} \mathrm{~d} x=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+\int 2 e^{x} \mathrm{~d} x \\ & =x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x} \end{aligned} \)

Meine Frage ist, wie das + zustande kommt. Ich komme einfach nicht drauf. Also:

Ich habe zunächst [e^x*x²] - ∫2x*e^x dx. Soweit so klar. Jetzt habe ich für ∫2x*ex dx f´(x)= ex , g(x)=2x, f(x)=ex und g´(x)=2. Also: [e^x*x²] (schreibe ich ab) - [2x* e^x] - ∫ 2*e^x . Woher kommt denn hier das + laut Lösung? Hätte ich -2*e^x gehabt ok, und dann - - , aber so verstehe ich nicht vorher das + kommt. Kann mir das vielleicht einer erläutern?

Comments

vgl:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Schritt dürfte das Minuszeichen klar sein:$$I=\int \underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v'}\,dx=\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}-\int \underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{e^x}_{=v}\,dx$$

Im zeiten Schritt musst du die Klammern beachten:$$I=x^2e^x-\int\underbrace{2x}_{=f}\cdot\underbrace{e^x}_{=g'}\,dx=x^2e^x\pink-\left(\underbrace{2x}_{=f}\cdot\underbrace{e^x}_{=g}\pink-\int\underbrace{2}_{=f'}\cdot\underbrace{e^x}_{=g}\,dx\right)$$

Die beiden pinken Minuszeichen ergeben das mysteriöse Pluszeichen:$$I=x^2e^x-2xe^x\pink+2e^x+\text{const}$$

Comments

Danke, für die richtig gute Übersicht!

Answer 2

[2x* e^x] - ∫ 2*e^x gehört in Klammern.

Comments

Achso, das habe ich ganz vergessen, danke.