Aber eine Basis kann doch nicht die Dimension 1 haben oder?

Question

Aufgabe:Bestimmen sie eine Basis und dimension

Problem/Ansatz: Mein Problem ist, dass ich das heute in einer Klausur machen musste und am Ende auf eine Lösungsmenge mit nur einen freien Variablen gekommen bin. Aber eine Basis kann doch nicht die Dimension 1 haben oder? Deswegen habe ich versucht eine zweite freie Variable zu erzeugen. Ist die Idee richtig?

Answer 1

Also die Dimension eines Vektorraums ist definiert als die Anzahl von Basisvektoren dieses Vektorraums. Wenn also schon ein Vektor den ganzen Vektorraum erzeugt, dann hast du natürlich auch nur einen Basisvektor und Dimension 1. Im \(\mathbb{R}^3\) wäre dies dann eine Gerade.

Answer 2

Hallo :-)

In einem \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) gilt für jeden Vektor \(v\in V\setminus{\{0_V\}}\), dass \(v\) eine Basis von \(\text{span}(v)\) bildet.

Comments

Und wie sieht es in einem UVR aus? Soweit ich weiß müssen doch die Vektoren im span linear unabhängig sein, wie kann dann bitte ein einzelner Vektor linear unabhängig ist.

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Und wie sieht es in einem UVR

Genauso.

Soweit ich weiß müssen doch die Vektoren im span linear unabhängig sein,

Nein müssen sie nicht. Du kannst soviele Vektoren wie du willst im Span haben. Interessant ist halt, wieviele Vektoren mindestens notwendig sind, um densselben Span zu erzeugen. Das sind nämlich diejenigen, die linear unabhängig sind. Und die Anzahl dieser Vektoren, welche den UVR aufspannen, nennt man dann Dimension.

kann dann bitte ein einzelner Vektor linear unabhängig ist.

Mit \(v\in V\setminus{\{0_V\}}\) kannst du den Nullvektor nur trivial erzeugen.

Answer 3

Aloha :)

Ein Vektorraum kann ein Punkt (Dimension 0), eine Gerade (Dimension 1), eine Ebene (Dimension 2), ein Volumen (Dimension 3)... sein, er muss nur am Urpsrung festgemacht sein (also den Nullvektor enthalten).