Basis und Dimension von a) und b) gesucht - Komplex, ich weiss nicht, wie damit umgehen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie eine Basis und die Dimension von folgenden Vektorräumen: $$\begin{array}{l}{\text { (d) }\left\{(x, y) \in \mathbb{C}^{2} | x+i y=0\right\} \text { als Vektorraum über } \mathbb{C},} \\ {\text { (e) }\left\{(x, y) \in \mathbb{C}^{2} | x+i y=0\right\} \text { als Vektorraum über } \mathbb{R} .}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Mir fehlt be beiden der Ansatz komplett, weil ich auch nicht verstehe was die Mengen überhaupt sind,

es sind ja Vektoren mit Einträgen x und y, die aber die Eigenschaft besitzen, dass x + iy = 0 ist. 

Kann jemand helfen ? 

Comments

Die Vektoren sind aus C^2 d.h x=a+ib. y=c+id

x+iy=a-d +i(b+c) also sagt die Bed=0 a-d=0 und b+c=0

Gruß lul

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Danke auch dir viel Mal !

Answer 1

Mit dem Tipp von lul hast du ja: Wenn V die gegebene Menge

von Vektoren ist:

Ist (z1;z2) ∈  V   und z1=a+bi und z2=c+di dann gilt a=d und b=-c,

also   (z1;z2) = ( d-ci ; c+di) = ( -ci;c) +(d;di) = c*(-i;1)+d*(1;i) .

Alle Elemente von V sind also mit reellen Faktoren

darstellbar als  c*(-i;1)+d*(1;i) und  (-i;1)und (1;i) sind lin. unabh.

Also ist V ein 2-dim ℝ-Vektorraum mit Basis z.B.  { (-i;1) , (1;i) }

Wenn V  als ℂ-Vektorraum betrachtet wird, ist

die Bedingung z1+i*z2=0 <=>  z1 = -i*z2 .

Also sehen die Paare so aus ( -i*z2; z2) = z2*(-i;1) .

Also ist es da 1-dim mit Basis (-i;1) .

Comments

Vielen Dank, ich habe es noch so gemacht und verstanden.

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Ist doch noch ein Fehler beim R-Vektorraum. Kam mir doch komisch vor, dass

da beides gleich ist. Ich hatte den Tipp von lul nicht

richtig gelesen: Da stand a-b=0 und nicht a=b=0.

Dann ist es hier was anders. Siehe Korrektur oben.