Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a,b gilt: Wurzel von (a*b) kleinergleich (a+b)/2

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a,b>0 gilt \( \sqrt{ab} \) <= (a+b)/2

Problem/Ansatz:

Ich wollte die Gleichung mit vollständige Induktion lösen, aber kann man Induktion über zwei zahlen gleichzeitig tun?
I.A: n= 0; 0<=0 (Wahr, wenn a = b = 0)

Was mache ich dann in meinem Induktionsschritt?

Answer 1

Man kann über reelle Zahlen keine Induktion durchführen,

da sie nicht den Peano-Axiomen genügen.

Für positive reelle Zahlen \(a,b\) gilt aber

\(0\leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b\),

woraus leicht die Behauptung folgt.

Answer 2

"aber kann man Induktion über zwei zahlen gleichzeitig tun?"

Das Problem ist wohl eher bei der Vorgabe, dass a und b reelle Zahlen sind.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.

Vollständige Induktion klappt aber bloss für eine abzählbare Anzahl von Behauptungen.

Comments

Ja stimmt, hatte das völlig übersehen. Wie kann ich da dann vorgehen?

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Tipp: Wurzel aus der Ungleichung entfernen. Einfach mal noch ein wenig umstellen bis etwas Bekanntes da steht. Dann das Ganze von hinten aufrollen und die verschiedenen Fälle schlimmstenfalls separat umformen. Der gegebenen Formel mit (ab) unter der Wurzel darfst du vermutlich entnehmen, dass das Produkt ab ≥ 0.

PS. Sehe gerade, da ist nun schon eine zweite Antwort vorhanden.

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Jup. Danke sehr