Seien N und M zwei abzählbare Mengen und ƒ: N → M injektiv. Dann sind N und M gleich groß

Question

Aufgabe:

Seien N und M zwei abzählbare Mengen und ƒ: N → M injektiv. Dann sind N und M gleich groß. Ist diese Aussage wahr oder falsch?

Problem/Ansatz:

Da injektiv f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 bedeutet habe ich dies über einen Kontrapositionsbeweis versucht zu zeigen.

Zu zeigen gilt also: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) 

Sei N = {1,4} und M = {2, 3, 4} (also beides sind abzählbare Mengen)

so gilt für eine Funktion ƒ(x) = x + 1 also

x1 = 1 ≠ 4 = x2 ⇒ f(x1) = 1+1 = 2 ≠ 5 = 4 + 1 = f(x2)

die Aussage der Injektivität über die Mengen M und N ist wahr, jedoch sind beide Mengen nicht gleich groß.

Kann man den Beweis so führen?

Comments

Du musst in deinem Beispiel noch eine 5 in M reintun.

Ansonsten ist das ein Gegenbeispiel :-)

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Kommt auch darauf an, wie ihr abzählbar definiert habt.

Manche Autoren unterscheiden zwischen

abzählbar (Das wäre gleichmächtig zu ℕ.) und

"höchstens abzählbar" da sind dann die endlichen Mengen mit dabei.

Answer 1

Seien N und M zwei abzählbare Mengen und ƒ: N → M injektiv. Dann sind N und M gleich groß.

Um diese Aussage zu widerlegen, genügt es,

• eine Menge N,
• eine Menge M und
  
• eine injektive Funktion \(f: N\to M\) also mit Definitionsmenge \(N\) und Wertemenge \(M\)
  

anzugeben, so dass \(N\) und \(M\) nicht gleich groß sind.

N = {1,4} und M = {2, 3, 4}
...
ƒ(x) = x + 1

Wenn dein \(N\) die Definitionsmenge von \(f\) sein soll, dann ist dein \(M\) nicht die Wertemenge. Dieses Beispiel ist dehalb ungeeignet, obige Aussage zu widerlegen.