Zeigen Sie durch Anwendung der Rechenregeln, dass Folgendes gilt:

Question

Aufgabe:

Seien P,Q und R aussagenlogische Ausdrücke. Zeigen Sie durch Anwendung der Rechenregeln, dass Folgendes gilt:

(P∨Q)∧(¬P∨R) ≡ (¬P∧Q) ∨ (P∧R)

Lösung:

≡(P∧¬P) ∨ (P∧R) ∨ (Q∧¬P) ∨ (Q∧R)                            (1)

≡0 ∨ (P∧R) ∨ (Q∧¬P) ∨ (Q∧R)                                      (2)

≡(P∧R) ∨ (Q∧¬P) ∨ (Q∧R)                                            (3)

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨ (Q∧R)                                            (4)

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨ (Q∧R∧(P∨¬P))                               (5)  

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨ ( (P∧Q∧R) ∧ (¬P∧Q∧R) )               (6)

≡( ¬P∧Q∧(1∨R) ) ∨ ( P∧R∧(1∧Q) )                               (7)

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R)                                                         (8)

Ich verstehe nicht, wie man bei (6)  ( (P∧Q∧R) ∧ (¬P∧Q∧R) ) rausbekommt?

Also wie von (Q∧R∧(P∨¬P)) auf ( (P∧Q∧R) ∧ (¬P∧Q∧R) ) umgeformt wird.

Eigentlich habe ich einen Disjunktion erwartet, nach der Anwnedung des Distributivgesetzes. Hier wird aber eine Konjunktion verwendet.

Die Auflösung nach (7) ist mir dann komplett schleierhaft.

Der Rest ist ok.

Danke im Voraus.

Answer 1

Da ist ein Tipp(?)fehler drin, es sollte sicher so heißen:

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨ (Q∧R∧(P∨¬P))                              (5)

Wie du schon meintest, sollte das eine Disjunktion sein:  

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨ ( (P∧Q∧R) ∨ (¬P∧Q∧R) )              (6)

Dann kann man ja hinten ein Klammernpaar weglassen

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R) ∨  (P∧Q∧R) ∨ (¬P∧Q∧R)               (6a)

und etwas umordnen

≡(¬P∧Q) ∨ (¬P∧Q∧R)    ∨ (P∧R) ∨  (P∧Q∧R)          (6b)

Und noch 1-en ergänzen (geht ja bei "und")

≡(¬P∧Q∧1) ∨ (¬P∧Q∧R)    ∨ (P∧R∧1) ∨  (P∧Q∧R)          (6c)

Dann kommt man auch auf (7) indem bei den ersten
beiden (¬P∧Q) und bei den hinteren beiden (P∧R)
ausgeklammert wird . Da ist allerdings immer noch der
Fehler von oben drin, also wäre es:

≡( ¬P∧Q∧(1∨R) ) ∨ ( P∧R∧(1∨Q) )                              (7)
und nur so macht es Sinn, denn eine Oder-Verbindung mit 1
ist immer 1 und kann deshalb im nächsten Schritt
weggelassen werden.

≡(¬P∧Q) ∨ (P∧R)                                                        (8)

Comments

Super, Danke!

Ja, gegen Ende hatte ich auch vermutet, dass es ein Tippfehler ist (von meinem Prof), aber war dann schon ein bisschen überfordert und kam wohl nicht auf das richtige Ergebnis. So sieht das ganze doch auch logischer aus. Haha.