Bestimmen Sie den Grenzwert für x → ± ∞

Question

Aufgabe:

f(x) = e^x-1 / e^x+1

Bestimmen sie den Grenzwert für (lim x -> + ∞) und (lim x -> - ∞)

Problem/Ansatz:

Habe den Grenzwert für + ∞ = 1 bereits berechnet und ich kenne auch durch GeoGebra den Grenzwert für -∞ = -1. Weiß aber nicht wie ich den für -∞ berechne.

Vielen Dank schonmal im Voraus!! ❤️

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich wrüde die Funktion zunächst etwas umfromen:$$f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}$$

Der Grenzwert gegen \(+\infty\) ist dann klar, weil \(e^x\to\infty\) bestimmt divergiert:$$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{e^x+1}\right)\to1-\frac{2}{\infty}=1$$Der Grenzwert gegen \(-\infty\) ist auch klar, weil \(e^x\to0\) konvergiert:$$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1-\frac{2}{e^x+1}\right)=1-\frac21=-1$$

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt macht es Sinn. ❤️

Answer 2

f(x) = (e^x - 1)/(e^x + 1) = (1 - 1/e^x)/(1 + 1/e^x)

lim (x → -∞) (e^x - 1)/(e^x + 1) = (0 - 1)/(0 + 1) = -1

lim (x → ∞) (1 - 1/e^x)/(1 + 1/e^x) = (1 - 0)/(1 + 0) = 1

Answer 3

e^x geht gg. 0 für x-> -oo

-> (0-1)/(0+1)= -1