Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion zeigen ohne Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Die Funktion f : ℝ -> ℝ sei definiert durch:

f(x,y) := \( \frac{x^5*y + x*y^5 - 2*x^3*y^3}{(x^4+y^4)e^{x+y}} \)  für (x,y) ≠ (0,0) und 0 für (x,y) = (0,0).

(i) Zeigen Sie, dass f stetig ist.

(ii) Prüfen Sie, ob f an der Stelle x=(0,0) partiell differenzierbar ist.

Ansatz:

(i) Man sieht relativ einfach, dass der Zähler die zweite binomische Formel ist und man diesen vereinfachen kann durch

(x*y) * (x²-y²)²

Und den Nenner kann man natürlich ausklammern zu:

x⁴*e^x+y + y⁴*e^x+y

Problem:

Jedoch weiß ich an dieser Stelle nicht, wie ich die Stetigkeit zeigen soll. Ich könnte Polarkoordinaten, wie sonst überall auch im Internet zu finden ist, nutzen, doch unser Script hast diese nur als Transformation zu Integralaufgaben definiert. Wir haben Stetigkeitsaufgaben ansonsten durch abschätzen des Nenners gelöst und dann etwaigem wegkürzen.

Ich bin mir aber nicht sicher, wie ich das hier machen soll.

(ii)

Hier haben wir im Normalfall:

\( \frac{δf}{δx} \) (x) = ( \lim\limits_{h\to\infty} \) \( \frac{f(x+he₁) + f(x)}{h} \)

= ( \lim\limits_{h\to\infty} \) \( \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \)

= ( \lim\limits_{h\to\infty} \) \( \frac{h⁵*0 + h*0 -2*h³*0}{h^5+0*h*e^x+y} \)

(Vertauschen von x mit y im zweiten Fall)

Hier ist der Zähler ja direkt 0 ohne betrachten des limes, also sollte die Funktion ja hier differenzierbar sein richtig?

Comments

Vielleicht klappt's so: Für betragsmäßig hinreichend kleine \(x,y\in\mathbb R\) gilt$$\lvert f(x,y)\rvert=\frac1{\mathrm e^{x+y}}\cdot\frac{{(x^2-y^2)}^2}{x^4+y^4}\cdot\lvert xy\rvert\le 2\cdot1\cdot\lvert xy\rvert.$$

Answer 1

Falls der Kommentar nicht geholfen hat, hier eine ausführlichere

Version:

Du musst ja zeigen: Zu jedem ε>0 gibt es ein δ mit

||(x,y)-(0,0)|| <δ ==>  | f(x,y) - 0 |< ε  also kurz

||(x,y)|| <δ ==>  | f(x,y)  |< ε.

Als erstes schauen wir dazu an:

 \( |\frac{x^5*y + x*y^5 - 2*x^3*y^3}{(x^4+y^4)e^{x+y}}|= |\frac{|xy| \cdot (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)e^{x+y}}| = \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \cdot \frac{|xy| }{e^{x+y}}\)  

Der erste Faktor ist nie negativ und immer ≤ 2, denn

 \( \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \le 2  <=> (x^2-y^2)^2 \le 2 (x^4+y^4) \) 

\( <=>  x^4- 2x^2y^2 + y^4 \le 2x^4+2y^4 \)

\( <=>  - 2x^2y^2 \le x^4+y^4 \)

\( <=>  0 \le x^4+ 2x^2y^2+y^4 \)

Was ja immer stimmt, da rechts nicht steht, was negativ werden kann.

Damit hat man schon mal

\(     \frac{ (x^2-y^2)^2}{(x^4+y^4)} \cdot \frac{|xy| }{e^{x+y}}  \le   \frac{2|xy| }{e^{x+y}}  \)

Und wenn man noch ||(x,y)|| < 1 vorgibt, dann folgt ja -2 < x+y < 2

also \(  e^{x+y} < e^{2 } < 8 \)   und

aus ||(x,y)|| <δ folgt auch |xy| < δ  .

Also hat man   | f(x,y)  | \(   \le   \frac{2|xy| }{e^{x+y}}  \lt     \frac{2|xy| }{8}  =  \frac{|xy| }{4} \).

Es reicht also , wenn man wählt δ =  min{ 1,  ε/4 }.

Comments

Ja das hilft mir auf jeden Fall weiter.

Vielen Dank für diese ausführliche Erklärung!