Aufgabe:
Sei das statistische Modell \( (\mathbb{R}, Β(\mathbb{R}^{n}), {\mathbb{P}^{a}_{n} := Gl^{⊗n}_{[-1,2a-1]}: a \in (1/2, \infty )}) \) gegeben. Für jedes \( a \in (1/2, \infty) \) sind \( X_{1}, ..., X_{n} \) des Stichprobenvektors unter dem W-Maß \( \mathbb{P}^{a} \) also unabhängig und verteilt nach der Gleichverteilung \(Gl_{[-1, 2a-1]} \).
Ein Punktschätzer \( T_{n} (x_{1},..., x_{n}) : \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n}{1(-∞,0] (xi)} \) sei gegeben für \( T_{n} : \mathbb{R}^{n} \to [0,1] \).
(Notiz mit \( 1(\infty,0] (xi) \) ist hier die Indikatorfunktion gemeint)
Zeigen Sie, dass \( T_{n} \) erwartungstreu ist für die Apektfunktion \( T(a) := \frac{1}{2a} \)
Ansatz:
Damit Tn erwartungstreu ist muss gelten, dass \( Bias^{a}(T_{n}, T) = 0 \):
\( Bias^{a}(T_{n}, T) = Ε^{a}[T_{n}(X_{1}, ..., X_{n})] - T(a) \)
\( = E^{a} [ \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{i=0}^{n}{1(-\infty, 0] (x_{i})} ] - \frac{1}{2a} \)
\( = \frac{1}{n} \) \( \sum\limits_{i=0}^{n}{E^{a}1(-\infty, 0] (x_{i})} \) - \( \frac{1}{2a} \)
\( = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E^{a}[\mathbb{1}(1-\infty,0) (x_{1})] \) - \( \frac{1}{2a} \) || aufgrund der Gleichverteilung
\( = E^{a}[\mathbb{1}(1-\infty,0) (x_{1})] \) - \( \frac{1}{2a} \)
\( = \int\limits_{-1}^{2a-1} |1(-\infty, 0] (x_{1})| \cdot fGl[-1,2a-1](x) dx - \frac{1}{2a} \)
\( = \int\limits_{-1}^{2a-1} |1(-\infty, 0] (x_{1})| \cdot \frac{1}{1+2a-1} dx - \frac{1}{2a} \)
\( = \frac{1}{2a} \cdot \int\limits_{-1}^{2a-1} |1(-\infty, 0] (x_{1})| dx - \frac{1}{2a} \)
Problem:
An dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter. Das Integral sollte sich hier ja zu 1 auflösen, damit \( Bias^{a} = 0 \) gilt.
Sobald ich die Indikatorfunktion versuche aufzulösen wird die obere Grenze des Integrals zu 0, da das x den Wert 1 zwischen (-∞ und 0] annimmt, aber ansonsten zu 0 wird.
Jedoch wird dadurch das Integral zu 1/2 und das ganze lässt sich an diesem Punkt nicht mehr auflösen.
Wo liegt hier der Denkfehler, oder was habe ich übersehen?
