Meine Fragen: Wie kommt man von (3) nach (4), von (4) nach (5) und von (7) nach (8)?

Question

Aufgabe: Rechenschritte in der "Hansenschen Aufgabe"

Problem/Ansatz:

Bei der Lösung der "Hansenschen Aufgabe" (sie geht darum, in der Zeichnung die Strecke CD zu bestimmen, wenn gegeben sind a und die Visierwinkel von beiden Enden von a auf beide Enden von CD, also gamma 1, gamma 2, delta 1, delta 2) habe ich mich bis zur folgenden Zwischenlösung durchgearbeitet:
(1) sin (x)/sin (y) = [sin gamma 1 mal sin delta 1 mal sin (gamma 2 + delta 1 + delta 2)]/[sin gamma 2 mal sin delta 2 mal sin (delta 1 + gamma 1 + gamma 2)]
(2) Zu dieser Gleichung mit den unbekannten Winkeln x und y kommt als zweite Gleichung: x + y = delta 1 + gamma 2
(3) "Wie bei vielen symmetrischen Gleichungen ist es auch bei diesem Gleichungssystem am zweckmäßigsten, zunächst x – y durch korrespondierende Addition zu bestimmen. Wir setzen zunächst den Quotienten der rechten Seite der Gleichung (1) gleich q. Sodann erhalten wir:"
(4) (sin x – sin y)/(sin x + sin y) = (q–1)/(q + 1)
(5) weiter siehe die Handschrift

Text erkannt:

(5) \( \frac{2 \cos \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x-y}{2}}{2 \sin \frac{x+y}{2} \cdot \frac{x-y}{2}} \cdot \frac{9-1}{9+1} \)
(6) \( \cot \frac{x+y}{2} \cdot \tan \frac{x-y}{2}=\frac{9-1}{9+1} \)
(7) \( \frac{\tan x-y}{2}=\frac{9-1}{9+1} \cdot \tan \frac{\delta_{1}+\gamma_{2}}{2} \)
(8) Nach Berechnug den Winkel \( x \) moly bestimnmt man CD aus ole Geichung \( C D=\frac{a \cdot \sin y \cdot \sin \left(\gamma_{2}+\delta_{1}+\delta_{2}\right)}{\sin \delta_{2} \cdot \sin \gamma_{2}} \)

Meine Fragen: Wie kommt man von (3) nach (4), von (4) nach (5) und von (7) nach (8)?

Comments

Was im Text steht ist so fast nicht lesbar.

in der Zeichnung ist unklar was gegeben, was gesucht?

sind nur Winkel bekannt? oder welche Längen.

die Kennzeichnung der Winkel ist undeutlich oder ist das alles in einer Ebene? dann ist es klarer

lul

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Bitte nicht den automatisch "übersetzten" Text lesen, sondern meinen originalen. Darin ist genannt, was gegeben ist: Die Aufgabe geht darum, in der Zeichnung die Strecke CD zu bestimmen, wenn gegeben sind: a und die Visierwinkel von beiden Enden von a auf beide Enden von CD, also gamma 1, gamma 2, delta 1, delta 2. Was ist in meiner originalen Handschrift unleserlich?

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Korrektur: Gegeben sind die Visierwinkel delta 1 und delta 2 von D aus sowie die Visierwinkel gamma 1 und gamma 2 von C aus nach A bzw. nach B. (also NICHT, wie ich oben irrtümlich geschrieben habe, von a aus, sondern von den Endpunkten von z (= CD) aus!)

Bekannt ist ebenfalls die Länge von a = AB. Gesucht ist die Länge von z = CD. Da die Aufgabe eine der Landvermessung ist, ist die Zeichnung in einer Ebene zu denken.

Die Lösung besteht zunächst darin, sich zunutze zu machen, dass die Seite CD zwei Dreiecken gemeinsam ist, deren Winkel man kennt. Ich kann CD nach dem Sinussatz aus jedem dieser beiden Dreiecke ausdrücken und die gefundenen Werte einander gleichsetzen.

Meine Probleme beginnen erst danach, nachdem  ich zu der Gleichung gekommen bin,, die oben die Nummer (3) hat. Wie geht es von da aus weiter?

Answer 1

Hallo

sin(x)/sin(y)=q,  sin(x)=q*sin(y); sin(x)-sin(y)=(q-1)sin(y); sin(x)+sin(y)=(q+1)sin(y);  daraus 4)

dann Additionstheorem  für sin(x)=sin((x+y)/2+(x-y)/2 entsprechend sin(y)=sin((x+y)/2-(x-y)/2) (das wird oft bei Addition von verschiedenen sin verwendet, also merken)

ergibt 5)

von 7 nach 8  durch cot(x+y)/2 teilen ;  1/cot((x+y)/2)=tan((x+y)/2) und x+y=δ1+γ2

jetzt alles klar?

Gruß lul

Comments

Danke, alles klar! Und mir ist nun klar, dass ich die Trigo-Regeln noch einmal pauken muss...