Meine Frage ist, ob ich einfach für x die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 einsetzten kann, um die Nullstellen zu …

Question

Aufgabe:

Nullstellen des Polynoms x^3-3x^2+2x über Z/12Z.

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist, ob ich einfach für x die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11  einsetzten kann, um die Nullstellen zu finden oder muss ich noch Faktorisieren?

Comments

x ausklammern, Vieta anwenden oder pq-Formel:

x(x^2-3x+2) = x(x-2)(x-1)

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Und was dann? Es gibt neun Lösungen.

Answer 1

Mit der Zerlegung x*(x-1)*(x-2) geht es schneller als durch Einsetzen aller zwölf Kandidaten in die Ausgangsform. Beispielsweise ist mit

11*(11-1)*(11-2) ≡ (-1)*(-2)*(-3) = (-6) ≡ 6 mod 12 keine Lösung,

10*(11-2)*(11-3) ≡ (-2)*(-3)*(-4) = 24 ≡ 0 mod 12 aber schon.

Comments

Moment bei mir kommen 6 Zahlen dafür infrage, ist das richtig?

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Nein, es gibt, wie schon der Frager wusste, neun Lösungen.

Answer 2

ob ich einfach für x die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11  einsetzten kann, um die Nullstellen zu finden

Ja, das würde ausreichen.