physikalische Dimension der Lösung bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Konzentration C eines Schadstoffes im Boden beträgt an
der Oberfläche C(0) = 5 mg/cm³. Die Konzentration nimmt
exponentiell mit der Tiefe z ab nach der Gleichung:

Berechnen Sie die Gesamtmenge des Schadstoffes auf einem
Quadratmeter Bodenoberfläche mittels Lösung des Integrals:

Welche physikalische Dimension hat die Lösung ?

Problem/Ansatz:

wäre die Dimension der Lösung hier cm^2

Answer 1

Hallo,

die Dimension von \(C_0\) ist \(\left[\text{mg}/\text{cm}^3\right]\); also Masse des Schadstoffs pro Volumen (Erd-)Boden. Durch das Integral wird diese Menge über die Tiefe (\(\left[\text{cm}\right]\)) integriert. Das Ergebnis ist damit das Produkt der beiden. Also Masse pro Quadratzentimeter (Boden-)Fläche. Das kann man natürlich in Masse pro Quadratmeter skalieren.

Stelle Dir vor, das \(\text dz\) im Integral \(\int C(z)\,\text dz\) hat die Dimension \([\text{cm}]\) und das \(C(z)\) hat natürlich die gleiche Dimension wie \(C_0\) - also \(\left[\text{mg}/\text{cm}^3\right]\), dann hat das Integral die Dimension des Produkts von beiden.

Das Ergebnis ist$$\int_0^{\infty} C_0 e^{-kz}\,\text dz = \frac 1k C_0 = \frac{5\frac{\text{mg}}{\text{cm}^3}}{0,138\,\text{cm}^{-1}} \approx 36,2 \frac{\text{mg}}{\text{cm}^2} = 362 \frac{\text g}{\text{m}^2}$$Gruß Werner