Man zeige, jedes von 0 verschiedene Element Einheit oder Nullteiler

Question

Ich habe mir letzte Nacht viel den Kopf zerbrochen, bin bei dieser Aufgabe aber leider nicht weiter gekommen. Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.^^

Aufgabe:

Für den Ring R = ℤ/nℤ = ℤ_n, (n ≥ 2) zeige man, dass jedes von 0 verschiedene Element m ∈ ℤ_n entweder eine Einheit oder Nullteiler in R ist.

Tipp: Es gibt immer ganze Zahlen a und b, so dass ggT(m,n) = am + bn gilt. Unterscheide ggT(m,n) = 1 und ggT(m,n) > 1.

Answer 1

Für den ersten Fall hätte ich was:

Sei n≥2 ==>  Z_n\{0} wird repräsentiert durch {1,...,n-1}

Sei m≠0 und ggT(m,n)=1 Dann folgt mit dem Tipp

Es gibt a,b aus Z mit am+bn=1

und das gilt dann in Z_n auch für die

Repräsentanten von a und b in {1,...,n-1}.

Nun ist aber bn ≡ 0 mod (n) , also wird aus

                         am+bn=1

            dann    am =1

==>   Es gibt ein a mit a*m=1 ==> m ist eine Einheit.

Für den Fall ggT>1 habe ich keine Idee.