Existenzsatz Picard,Peano

Question

Sei \( J \subseteq \mathbb{R} \) ein kompaktes Intervall und \( \Omega=J \times \mathbb{R}^{n} . \) Untersuchen Sie jeweils, auf welche der folgenden Anfangswertaufgaben der globale Existenz- und Eindeutigkeitssatz von PicardLindelöf anwendbar ist. In welchen Fällen lässt sich lediglich der Existenzsatz von Peano ) anwenden?
\( \text { (a) } u^{\prime}=\cos (u), u(0)=0 \)

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe , da ich mir nicht sicher bin wie ich hier den Satz anwenden soll und überhaupt weiß, dass dieser anwendbar ist ..

Comments

Hallo,

die wesentliche Voraussetzung ist, dass die "rechte Seite" lokal (?) Lipschitz-stetig ist. Hier geht es also um \(f(x)=\cos(x)\). Da dies stetig differenzierbar ist, ist es auch lokal Lipschitz-stetig.

Da die Ableitung hier sogar beschränkt ist, ist f sogar global Lipschitz-stetig mit KOnstante 1.

Gruß

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hey.danke für die Antwort. Hab jetzt mit dem Mittelwertsatz gezeigt das das ganze ding halt lipschitz stetig ist und da der -sin beschränkt ist entsprechend auch global.. Nur habe ich hier gar nicht von der Funktion u(0) = 0 gebraucht gemacht. Kannst du etwas erläutern was ich damit anstellen soll?

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Hallo,

die beiden Sätze behandeln Anfangswertprobleme, d.h. die Anfangsbedingung \(u(t_0)=u_0\) mit vorgegebenen \(t_0,u_0\) ist Teil der Problemformulierung. Die Lipschitz-Bedingung bzw. Stetigkeits-Bedingung muss dann auf einer Menge überprüft werden, die diesen Anfangspunkt enthält.

Da hier alles global gilt, spielt die Anfangsbedingung hier keine Rolle.

Gruß