Hallo,$$y'=x^2y = f(y,x)$$
(a) Bestimmen Sie direkt die Lösung der Differenzialgleichung.
nach der Überschrift zu urteilen hast Du danach nicht gefragt. Die Lösung ist (nach Trennung der Variablen):$$y= ce^{\frac{x^3}{3}}$$
(b) Bestimmen Sie die Lösung der Differenzialgleichung mit Hilfe des PicardLindelöfschen Iterationsverfahren
frei nach Wikipedia ist zuerst ein \(y_0\) vor zu geben. Dies ist hier der Fall:$$y(0)=c = y_0$$und dann ist diese Rekursion anzuwenden:$$y_{l+1}(x) = y_0 + \int\limits_{0}^{x} f(s,y_{l}(s))\,\text{d}s \quad x\in[0,\epsilon]$$Wenn man das dreimal hinter einander macht, kommt man zu$$y_1= c + \int\limits_{0}^{x}(s^2\cdot c)\,\text{d}s = c\left(1 + \frac{1}{3} x^3\right) \\ y_2 = c\left(1 +\int\limits_{0}^{x}s^2\left(1 + \frac13 s^3\right)\,\text{d}s\right)\\ \phantom{y_2} = c\left(1 +\frac{1}{3}x^3 + \frac1{18} x^6\right)\\ y_3 = c\left(1 +\int\limits_{0}^{x}s^2\left(1 +\frac{1}{3}x^3 + \frac1{18} x^6\right)\,\text{d}s\right)\\ \phantom{y_3} = c\left(1 + \frac{1}{3}x^3 + \frac1{18} x^6 + \frac1{162} x^9\right)$$Das geht dann in dieser Weise weiter. Allgemein gilt$$y_{l} = c\cdot\sum\limits_{k=0}^{l} \frac{1}{k!\cdot 3^k} x^{3k}$$Das ganze als Graph:
https://www.desmos.com/calculator/kw16madc4e
Die rote Kurve ist die Lösung von \(y\). Die blaue Kurve ist der Graph von \(y_{l}\). Hier für \(l=1\); durch Klicken auf den Schriftzug \(l=\dots\) kannst Du das \(l\) inkrementieren.
... und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teil (a).
Substituiere in der Näherungslösung \(z=\frac{1}{3}x^3\) und schaue Dir die Reihenentwicklung von \(e^x\) an, Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
