Finde die Nullstellen von dieser Funktion mit der Iterationsverfahren von Newton!

Question

Aufgabe:

Finde die Nullstellen von dieser Funktion mit der Iterationsverfahren von Newton!

f(x) = sin(x)

f'(x) = cos(x)

x0 = 2

Problem/Ansatz:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)} 

Ich habe das Ganze mit der obigen Formel berechnet, aber ich komme irgendwie auf komische Zahlen, d. h. noch komischere als üblich. Darum wäre ich froh, wenn jemand das durchspielt.

Comments

ich komme irgendwie auf komische Zahlen

kleine Frage:

hast du den Rechner auf Bogenmaß (RAD) eingestellt oder auf (DEG) ??

Answer 1

x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))

x(n+1) = x(n) - sin(x(n))/cos(x(n))

x(0) = 2

x(1) = 2 - sin(2)/cos(2) = 4.185039863

x(2) = 4.185039863 - sin(4.185039863)/cos(4.185039863) = 2.467893675

x(3) = 2.467893675 - sin(2.467893675)/cos(2.467893675) = 3.266186277

x(4) = 3.266186277 - sin(3.266186277)/cos(3.266186277) = 3.140943912

x(5) = 3.140943912 - sin(3.140943912)/cos(3.140943912) = 3.141592653

x(6) = 3.141592653 - sin(3.141592653)/cos(3.141592653) = 3.141592653

Hier scheint sich der Funktionswert nicht zu verändern, daher sollte das eine recht gute Näherung für die Nullstelle sein.

Comments

Die Aufgabe, den Wert von  π  durch eine Newton-Iteration zu ermitteln, bei welcher man sich auf die Eigenschaften von sin und cos stützt (welche ihrerseits ganz wesentlich auf der Zahl  π  aufbauen), scheint mir zunächst etwas sonderbar.

Ein interessanter Nebeneffekt ist aber der, dass man offenbar durch folgende Iteration zum Wert von  π  gelangen kann:

Nimm irgendeinen Startwert  x₀  so ungefähr im Bereich von 2 bis 4 .

Berechne einige Glieder der Folge  <x_n>  , wobei  x_n+1 := x_n - tan(x_n)  und schau, wohin diese Folgenglieder tendieren ...

Answer 2

Hallo,

stelle Deinen Taschenrechner auf 'RAD' und kontrolliere Deine Zahlen für die Funktion $$f(x) = \sin(x)$$ an Hand dieses Plots

~plot~ sin(x);{2|sin(2)};cos(2)(x-2)+sin(2);x=4.18;{4.18|-0.864};-0.503(x-4.18)-0.864;x=2.468;{2.468|0.642};-0.782(x-2.458)+0.642;x=3.266;[[-1|7|-2|2]] ~plot~

oder dieser Tabelle:$$\begin{array}{r|lrr} i& x_i& f(x_i)& f'(x_i)\\ \hline 0& 2& 0.909& -0.416\\ 1& 4.185& -0.864& -0.503\\ 2& 2.468& 0.624& -0.782\\ 3& 3.266& -0.124& -0.992\\ 4& 3.141& 0.001& -1.000\\ 5& 3.142& 0.000& -1.000\end{array}$$