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Für \( z \in \mathbb{C} \) bezeichne \( \bar{z} \) die komplex konjugierte Zahl. Die Inklusion \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \) induziert eine Inklusion von Ringen \( \mathbb{R}[X] \subset \mathbb{C}[X] \). Sei \( f(X) \in \mathbb{R}[X] \) ein nicht-konstantes reelles Polynom.
(i) Sei \( z \in \mathbb{C} \). Zeigen Sie, dass \( g(X):=(X-z)(X-\bar{z}) \) nach dem Ausmultiplizieren ein Polynom in \( \mathbb{R}[X] \) liefert.
(ii) Zeigen Sie, dass für alle \( z \in \mathbb{C} \) stets \( f(z)=0 \Longleftrightarrow f(\bar{z})=0 \) gilt.
(iii) Sei \( z \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R} \) eine nicht-reelle Nullstelle von \( f \). Folgern Sie aus (i) und (ii), dass das Polynom \( g(X) \) aus (i) ein Teiler von \( f(X) \) im Ring \( \mathbb{R}[X] \) ist.
(iv) Zeigen Sie, dass es normierte Polynome \( f_{1}(X), \ldots, f_{r}(X) \in \mathbb{R}[X] \operatorname{vom} \) Grad \( \leq 2 \) und eine Konstante \( c \in \mathbb{R} \) gibt mit \( f(X)=c \cdot f_{1}(X) \cdots f_{r}(X) \).
