Aufgabe:
Sind R, S unitäre kommutative Ringe und ist ein Ringhomom. \( \varphi ~:~ R \to S \) sowie ein Element \( s \in S \) gegeben, so gibt es genau einen Ringhomom. \( \Phi ~:~ R[T] \to S \) mit \( \Phi|_R = \varphi \) und \( \Phi(T) = s \) .
Problem/Ansatz:
Dann kann ich ja den Einsetzungshomomorphismus nutzen, um zum Beispiel herauszufinden, warum f: Z[x]↪Z[√d] ein Ringhomomorphismus ist. Da habe ich den Tipp bekommen die Abb g mit g: Z↪Z[√d] zu nutzen. Da wenn dieser ein Ringhomomorphismus ist ich dann den Satz nutzen kann, um zu zeigen, dass f ein Ringhomomorphismus ist. Würde dann die Abbildungsvorschrift, wie folgt aussehen?
g: Z↪Z[√d], x -> $$\sum \limits_{k=0}^{\ n}a^{k}\sqrt{d}^{k}$$ und wenn ja, wie genau zeige ich, dass das ein Ringhomomorphismus ist? Da ich irgendwie nicht schaffe zu zeigen, dass g(a+b)=g(a)+g(b) ist noch das g(a*b)=g(a)*g(b)
Auf eine Antwort würde ich mich sehr freuen. :)
