Aloha :)
Der Sinus bzw. Cosinus sind im rechtwinkligen Dreieck definiert als:$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\quad;\quad\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$$Hier kennen wir$$\sin\alpha=\frac{4\sqrt m}{1+4m}\quad\text{( !!! Beachte das \(+\) im Nenner, mit \(-\) klappt das nicht !!! )}$$Die Gegenkathete hat also die Länge \(g=4\sqrt m\) und die Hypotenuse die Länge \(h=(1+4m)\). Mit Hilfe von Pythagoras können wir daraus die Länge der Ankathete \(a\) bestimmen:$$\left.a^2+g^2=h^2\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.a^2+\left(4\sqrt m\right)^2=\left(1+4m\right)^2\quad\right|\text{Quadrate ausrechnen}$$$$\left.a^2+16m=1+8m+16m^2\quad\right|-16m$$$$\left.a^2=1-8m+16m^2\quad\right|\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.a^2=(1-4m)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$a=1-4m$$
Damit lautet also der Cosinus:$$\cos\alpha=\frac{a}{h}=\frac{1-4m}{1+4m}$$
