Aloha :)
Die Gleichung einer Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Wir müssen also für der Stelle \(x_0\) nur den Funktionswert und die erste Ableitung bestimmen, um die Tangente hinschreiben zu können:
Bei (b) haben wir die Stelle \(x_0=-1\) und die beiden entscheidenden Werte sind:$$f(x)=-0,5e^{-2x}\implies f(-1)=-0,5e^2=-\frac{e^2}{2}$$$$f'(x)=e^{-2x}\implies f'(-1)=e^2$$Damit lautet die gesuchte Tangente:$$t(x)=-\frac{e^2}{2}+e^2(x-(-1))=-\frac{e^2}{2}+e^2x+e^2=e^2x+\frac{e^2}{2}=\underbrace{e^2}_{\approx7,3891}\cdot\left(x+\frac12\right)$$
~plot~ -0,5*e^(-2x) ; {-1|-e^2/2} ; e^2(x+1/2) ; [[-2|1|-10|5]] ~plot~
Bei (c) haben wir die Stelle \(x_0=2\) und die beiden benötigten Werte sind:$$f(x)=4e^{-0,1x}\implies f'(2)=4e^{-0,2}$$$$f(x)=-0,4e^{-0,1x}\implies f'(2)=-0,4e^{-0,2}$$Damit lautet die Tangente:$$t(x)=4e^{-0,2}-0,4e^{-0,2}\cdot(x-2)=-0,4e^{-0,2}x+4,8e^{-0,2}=\underbrace{-0,4e^{-0,2}}_{\approx-0,3275}\left(x-12\right)$$
~plot~ 4*e^(-0,1x) ; {2|4*e^(-0,2)} ; -0,4*e^(-0,2)*(x-12) ; [[-2|5|2,5|5]] ~plot~
