Ungleichheit von Polynomen

Question

ich frage mich gerade, ob es einen einfachen aber formalen Beweis dazu gibt, dass Polynome (mit einigen Ausnahmewerten für x) ungleich sind, wenn ihre Koeffizienten ungleich sind

Also z.b einen formalen Beweis dass

x^2 + 6x^3 + 8x^5 ungleich 4x^2 + 7x^4 + 9x^3 ist. Zumindest für die meisten (fast alle?) x in einem Intervall

Es leuchtet intuitiv ja schon ein, aber ein Beweis wäre es besser.

Comments

Die Differenz der beiden Polynome ist ein Polynom fünften Grades. Ein solches kann bekanntlich höchsten fünf Nullstellen haben. Daher können die Polynome an höchstens fünf unterschiedlichen Stellen gleich sein.

Answer 1

Setze die Polynome gleich

x^2 + 6·x^3 + 8·x^5 = 4·x^2 + 7·x^4 + 9·x^3

(x^2 + 6·x^3 + 8·x^5) - (4·x^2 + 7·x^4 + 9·x^3) = 0

8·x^5 - 7·x^4 - 3·x^3 - 3·x^2 = 0

Damit die Polynome gleich wären müsste der linke Teil jetzt Null sein. Weil das ein Polynom 5. Grades ist, könnte das höchstens an 5 Stellen der Fall sein. Bei allen anderen nicht.

x^2·(8·x^3 - 7·x^2 - 3·x - 3) = 0

Hier gibt es neben der Doppelten Nullstelle bei Null nur noch eine weitere reelle Nullstelle bei ca. 1.356. An allen anderen Stellen stimmen die Polynome also nicht überein.