Zeigen Sie dass fn(x) gleichmäßig konvergent ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass f_n(x) gleichmäßig konvergent ist

Problem/Ansatz:

Sei die Grenzfunktion von fn konstant, dann weiß ich, dass die allgemeine Formel für glm Konvergenz folgenden ist:

sei xn eine Folge mit lim(n→∝) (x_n) = f(x)

|| fn(x_n) - f(x) || → 0  (n→∝)

Wobei f(x) die Grenzfunktion von f_n(x) ist.

Es gibt ja für einen Grenzwert immer verschiedene Folgen x_n die gegen diesen Grenzwert konvergieren, wie kann ich zeigen, dass die Formel für alle Folgen x_n stimmt, oder im Falle dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, wie finde ich genau diese Folge mit der ich die Aussage widerlegen kann?

Bsp. f_n(x) = e ^-x/n   Sie konvergiert punktweise gegen e⁰ = 1

wenn ich mit der oben genannten Formel die glm. Konvergenz überprüfen möchte und x_n als die konstante 1 Folge wähle folgt

| e^-1/n  - 1 |  → 0   (würde für glm. K. sprechen)

aber mit x_n = 1/n +1  folgt   |e ^-1+1/n  - 1| ≠ 0   (n→∝)

gibt es einen Trick genau die eine Folge zu finden, mit der die Aussage widerlegt werden kann?

Und angenommen fn ist glm. Konvergent, wie beweise ich die Formel für alle Folgen x_n mit mit lim(n→∝) (xn) = f(x)?

Danke im Voraus!

Answer 1

Hallo,

das Kriterium, das Du für gleichmäßige Konvergenz angibst, ist falsch formuliert. Richtig ist:
$$\sup \{|f_n(x)-f(x) \mid x \in D\} \to 0, \quad n \to \infty$$
(oder eine Variante).
Dieses Supremum kann man im Erfolgsfalle zum Beispiel passend abschätzen oder durch Kurvendiskussion exakt bestimmen. Falls keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, reicht es zur Widerlegung eine Folge \((x_n)\) im Definitionsbereich zu finden mit
$$|f_n(x_n)-f(x_n)| \geq \epsilon >0$$

Bei Deinem Beispiel wäre eine solche Folge zum Beispiel \(x_n=n\)
Gruß Mathhilf