Konvergenzradius von Potenzreihe mit Binomialkoeffizient

Question

Konvergenzradius von Potenzreihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)(x+1)^{2 n} \)

\((x+1)^{2}\) wird durch y substituiert und für \( a_{n}:=\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) \) stand im Lösung

\( \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\frac{1}{2} \frac{n+1}{2 n+1} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4} . \)

Ich verstehe jetzt aber nicht, wie man auf \(\frac{1}{2} \frac{n+1}{2 n+1} \) gekommen ist und warum kann man hier statt an+1/an an/an+1 berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\underbrace{\binom{2n}{n}}_{\eqqcolon a_n}(x+1)^{2n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot\left((x+1)^2\right)^n$$$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2(n+1)}{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(2n)!}{n!\cdot(2n-n)!}}{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!\cdot(2(n+1)-(n+1))!}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot(n+1)!}}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot\frac{(n+1)!\cdot(n+1)!}{(2n+2)!}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)\cdot(n+1)}{(2n+2)\cdot(2n+1)}\right|$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\left(1+\frac1n\right)\cdot\left(1+\frac1n\right)}{\left(2+\frac2n\right)\cdot\left(2+\frac1n\right)}\right|=\frac{1\cdot1}{2\cdot2}=\frac14$$

Die Potenzreihe konvergiert also sicher für$$(x+1)^2<\frac14\quad\text{bzw.}\quad-\frac32<x<-\frac12$$

Die Konvergenz an den Rändern, also für \(x=-\frac32\) und \(x=-\frac12\) musst du eventuell noch untersuchen (falls in der Aufgabenstellung gefordert).

Answer 2

Hallo

 1.schreib die Binomialkoeffizienten als Fakultäten, dann kommst du auf den Bruch.

2. ob man an/an+1 ausrechnet oder den Kehrwert ist doch eigentlich egal.