Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden

Question

Aufgabe:

Die Geraden g und h schneiden sich. Berechnen Sie den Schnittpunkt.

a) g: x Pfeil drüber = als Vektor: (9I0I6) + r * als Vektor: (3I2I1); h: x Pfeil drüber = als Vektor: (7I-2I2) + s * als Vektor: (1I1I2)
Problem/Ansatz:

Ich komme hierbei nicht so richtig weiter beziehungsweise bin mir dabei unsicher. Deshalb würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand a) einmal vorrechnen könnte (gerne auch mit Erklärungen), damit ich dies dann auf meine ganzen anderen Aufgaben übertragen kann.

Viele Grüße

Answer 1

Hallo,

\( y: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}9 \\ 0 \\ 6\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

\( h: \vec{x}-\left(\begin{array}{c}7 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze g = h

\( \left(\begin{array}{l}9 \\ 0 \\ 6\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)

Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

\( 9+3r=7+s \)
\( 2 r=-2+s \)
\( 6+r=2+2 s \)

Löse das Gleichungssystem und du erhältst r = 0 und s = 2

Der Schnittpunkt der Geraden ist also S \( \begin{pmatrix} 9 \\ 0\\6 \end{pmatrix} \)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe und Erklärungen!

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gern geschehen!

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Hallo,

ich hoffe es ist ok, wenn ich nochmal eine Nachfrage stelle. Ich bin gerade bei der nächsten Aufgabe b) g: x Pfeil drüber = als Vektor: (9I7I1) + t * als Vektor: (2I1I0); h: x Pfeil drüber = als Vektor: (5I5I3) + t * als Vektor: (2I1I1). Als Hinweis im Buch stehend: Ein Parameter muss unbenannt werden.

So jetzt habe ich erstmal g und h gleichgesetzt: (9I7I1) + t * (2I1I0) = (5I5I3) + t * (2I1I1)

dann das Gleichungssystem aufgestellt: 9 + 2t = 7 + 2t

7 + t = 5 + t

1 + t = 3 + t

Ist das soweit richtig? Ich weiß nämlich nicht so richtig, wie man den Parameter umbenennt. Und da komme ich jetzt auch nicht so weiter. Nun muss ich ja das Gleichungssystem lösen, ich weiß aber nicht so richtig wie ich dann auf ein Ergebniss und den Schnittpunkt komme.

Falls Sie dazu Zeit haben sollten, würde ich mich nochmal sehr über Ihre Hilfe freuen.

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Du kannst den Parameter nennen, wie du willst. Nimm beispielsweise s für das zweite t.

Dann erhältst du

9 + 2t = 5 + 2s

7 + t = 5 + s

1 + 0 = 3 + s

Aus der dritten Gleichung folgt s = -2

Setze das in die 2. Gleichung ein (Du könntest auch die 1. nehmen):

7 + t = 5 - 2 ⇒ t = -4

Setze beide Ergebnisse in die 1. Gleichung ein:

9 - 8 = 5 - 4

1 = 1

Damit ist gezeigt, dass die Ergebnisse für s und t richtig sind und die Geraden einen Schnittpunkt haben. Hätte die letzte Zeile 2 = 1 gelautet = falsche Aussage, würden die Geraden keinen Schnittpunkt haben.

Jetzt setze in die 1. Gleichung -4 für t ein:

\(\begin{pmatrix} 9\\7\\1 \end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9-8\\7-4\\1-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix}\)

Zur Kontrolle kannst du noch -2 für s in die 2. Gleichung einsetzen.

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Du kannst den Parameter nennen, wie du willst.

Das stimmt nicht ganz.

Nimm beispielsweise s für das zweite t.

Aha. Wenn man den ersten Parameter gewählt hat, kann man nicht (wie man vielleicht will) der zweiten Parameter genau so nennen.

Die einzige Einschränkung der Namensgebung ist, dass man nicht zweimal den selben verwendet.

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Hallo,

vielen Dank für Ihre erneute Mühe und Hilfe! Der Schnittpunkt von b) ist dann (1I3I1) oder?

Liebe Grüße

Answer 2

Hallo

du schreibst die Gleichung g=h in Komponenten auf, dann hast due 3 Gleichungen für r und s aus 2 davon bestimmst du r und s, die dritte muss dann auch erfüllt sein sonst schneiden sich die Geraden nicht

die erste Gleichung ist

9+3r=7+s oder 3r-s=-2

jetzt du die nächsten 2 und dann sag, was dich unsicher macht.

Probe: r und s einsetzen in g und h muss denselben Vektor geben.

Gruß lul