Schnittpunkt zweier Geraden?

Question

also ich komme bei folgenden irgendwie nicht richtig raus:

Bestimmen Sie den Schnittpunkt:

Gegeben habe ich vier Punkte ( A(8/0/4); B(6/2/0); C(2/6/0); D(0/8/4) für zwei Geraden (AB; CD)

Hab zunächst Geraden aufgestellt mit den Richungsvektoren r (-2/2/-4) und  t (2/-2/-2).

um den Punktzuermitteln habe ich die beiden Geraden gleichgestellt, komme dann aber irgendwie nicht weiter

LG

Comments

Der Richtungsvektor der Gerade CD stimmt nicht.

Answer 1

[8, 0, 4] + r·[-2, 2, -4] = [2, 6, 0] + s·[-2, 2, 4] --> r = 2 ∧ s = -1

S = [8, 0, 4] + 2·[-2, 2, -4] = [4, 4, -4]

Die Vektorgleichung ergibt ein lineares Gleichungssystem. Kannst du dieses ohne Vektoren notieren und lösen?

8 - 2·r = 2 - 2·s
2·r = 6 + 2·s
4 - 4·r = 4·s

Answer 2

Aloha :)

Die beiden Geradengleichungen lauten:

$$g_{AB}: \vec x=\begin{pmatrix}8\\0\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix}\quad;\quad g_{CD}: \vec y=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$$Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert:$$\begin{pmatrix}8\\0\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$$$$s\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-4\end{pmatrix}$$Das kannst du als Gleichungssystem schreiben:$$\left(\begin{array}{r}s & t & =\\\hline-2 & 2 & -6\\2 & -2 & 6 \\-4 & -4 & -4\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\+\text{Zeile 2}\\{:2}\\{:(-4)}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}s & t & =\\\hline0 & 0 & 0\\1 & -1 & 3 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{}\\{-\text{Zeile 2}}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}s & t & =\\\hline0 & 0 & 0\\1 & -1 & 3 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{}\\{:2}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}s & t & =\\\hline0 & 0 & 0\\1 & -1 & 3 \\0 & 1 & -1\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{}\\{+\text{Zeile 3}}\\{}\end{array}$$$$\left(\begin{array}{r}s & t & =\\\hline0 & 0 & 0\\1 & 0 & 2 \\0 & 1 & -1\end{array}\right)$$Der Schnittpunkt ist daher \(S(4|4|-4)\).

Comments

Ok, danke

Aber was wenn ich als geraden jetzt die aufgestellt habe:

g:x=(8/0/4)+r(-2/2/-4)

h:x=(0/8/4)+t(2/-2/-4)

ich komme da immer wieder auf ein Ergebnis von 0=16, was mache ich da falsch?

Habe aber auch ein LGS aufgestellt....

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Deine Geradengleichungen sind richtig. Die Gerade \(g\) hast du genauso wie ich, die Gerade \(h\) kann man auch aus meiner umformen.

Du machst daher einen Fehler beim Auflösen des LGS. Da kann ich dir aber leider nicht sagen, was du falsch machst, weil ich deine Rechnung nicht kenne.