Wie leitet man die Logarithmengesetze von den Potenzgesetzen ab?

Question

Aufgabe:

Hallo!

Kann mir jemand erklären, wie man die Logarithmengesetze von den Potenzgesetzen ableitet?

Also einmal für:

a) log_b(u*v) = log_b(u) + log_b(v)

b) log_b(u/v) = log_b(u) - log_b(v)

c) log_b(u^r) = r * log_b(u)

Answer 1

Aloha :)

Potenzieren und logarithmieren kompensieren sich gegenseitig:$$x=b^{\log_b(x)}\quad;\quad x=\log_b(b^x)$$

Damit kannst du die Logarithmengesetze beweisen:$$\text{a) }\;\;b^{\log_b(u\cdot v)}=u\cdot v=b^{\log_b(u)}\cdot b^{\log_b(v)}=b^{\log_b(u)+\log_b(v)}\implies\log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v)$$

$$\text{c) }\;\;b^{\log_b(u^r)}=u^r=\left(b^{\log_b(u)}\right)^r=b^{r\log_b(u)}\implies\log_b(u^r)=r\log_b(u)$$

$$\text{b) }\;\;\log_b(u/v)=\log_b(u\cdot v^{-1})\stackrel{a)}{=}\log_b(u)+\log_b(v^{-1})\stackrel{c)}{=}\log_b(u)-\log_b(v)$$

Comments

Danke :) Leider verstehe ich nicht wie du das 2.Logarithmusgesetz also b) abgeleitet hast. Woher kommt den die -1? Könntest du das Schritt für Schritt erklären?

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Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt, zum Beispiel:$$\frac{x^2}{y^{-3}z}=\frac{x^2y^3}{z}$$Hier habe ich das verwendet:$$\frac{u}{v}=\frac{u}{1\cdot v^1}=\frac{u\cdot v^{-1}}{1}=u\cdot v^{-1}$$Kennst du dieses Schreibweise nicht?

Answer 2

hallo

nimm jeweils die 2 Seiten b hoch . dann verwende die Potenzgesetze. natürlich geht das dann auch rückwärts, verwenden muss man nur die Def des log_b(a) mit b ^log_b^(a)=a

lul

Comments

Aber wie schreibt man das dann auf, damit es andere Leute verstehen und auch logisch ist ?