Trigonometrische Gleichung: (SIN^2 (x) + COS(x - pi/3))/(COS^2 (x) - 1) = 1

Question

Trigonometrische Gleichung lösen:

\( \frac{\sin ^{2} x+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos ^{2} x-1}=1 \)

Habe bereits mit dem trigonometrischen Pythagoras vereinfacht, aber dann stört mich der cos von (x-pi/3).

Habe dann probiert mit Substitution weiterzukommmen.

Answer 1

(SIN(x)^2 + COS(x - pi/3))/(COS(x)^2 - 1) = 1

(SIN(x)^2 - COS(x + 2·pi/3))/(COS(x)^2 - 1) = 1

(SIN(x)^2 + SIN(x + pi/6))/(COS(x)^2 - 1) = 1

- (SIN(x + pi/6) + SIN(x)^2)/SIN(x)^2 = 1

- SIN(x + pi/6)/SIN(x)^2 - 1 = 1

SIN(x + pi/6)/SIN(x)^2 = -2

SIN(x + pi/6) = - 2·SIN(x)^2

SIN(x + pi/6) + 2·SIN(x)^2 = 0

Comments

SIN(x + pi/6) + 2·SIN(x)^2 = 0

SIN(x)·COS(pi/6) + COS(x)·SIN(pi/6) + 2·SIN(x)^2 = 0

√3/2·SIN(x) + 1/2·COS(x) + 2·SIN(x)^2 = 0

4·SIN(x)^2 + √3·SIN(x) + COS(x) = 0

Vielleicht hat hier jemand eine Idee wie man das noch umwandeln kann.

COS(x) ersetzen durch ± √(1 - SIN(x)^2) ergab irgendwie bei mir nicht den rechten Erfolg :(

Aber eigentlich wäre das doch der richtige Weg. Hm. Ich muss da noch irgendwie Fehler gemacht haben. Vielleicht probierst du es auch mal.

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ich komme immer noch nicht weiter:

Wann ist diese Gleichung erfüllt.

Mein Ansatz: 2sin²x muss 1 werden und sin(x+pi/6) muss -1 werden ?

nein klappt auch net.

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Hallo
In der Regel setzt man bei ungleichen trigonometrischen Funktionen sinx = 2tan(x/2)/(1 +tan^2 (x/2))
und cosx = (1 -tan^2 (x/2)) / (1 +tan^2 (x/2))
und löst dann nach tan (x/2) auf.