Beispiel für einen reflexiven Raum der kein Hilbertraum ist

Question

Aufgabe: Beispiel für einen reflexiven normierten Raum der kein Hilbertraum ist.

Problem/Ansatz: Man weiß ja, dass Hilberträume reflexiv sind. Ich frage mich wie es mit der Umkehrung aussieht. Vom Gefühl her würde ich sagen nein, mir fallen aber ehrlich gesagt nicht viele "nicht-Hilberträume" ein, als Beispiel hätte ich jetzt C([0,1]) mit der Supremums-Norm genommen, das ist ja bekannterweise kein Hilbertraum, wie könnte man zeigen, dass dieser nicht reflexiv ist?

Comments

Laut Wikipedia sind die Folgenräume \( \ell^p \) reflexiv und die sollten für \( p \neq 2 \) keine Hilberträume sein. Ob das jetzt allerdings ein schönes Beispiel zum durchrechnen ist weiß ich nicht ^^

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Okay danke für die Antwort! :)

Hast du eine Idee wie man die Reflexivität zeigen könnte? bspw von l³?

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Ich denke, dazu benutzt man, dass die Dualräume bekannt sind: Der Dualraum zu \(l^p\) ist (isomorph zu ) \(l^q\) mit \(1/p+1/q=1\) - dazu hilft die Hölder-Ungleichung

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Danke! Ich habe aktuell noch ein paar Probleme mit Dualräumen, könntest du mir eine Quelle empfehlen, in der ich das nachlesen könnte? Wäre echt super!

Zusätzlich noch eine Frage (da ich das Gefühl habe du kennst dich damit gut aus). Ich habe die Vermutung, dass punktweise Konvergenz von Operatoren in L(X,Y) die schwache Konvergenz in L(X,Y) ausgestattet mit der Operatornorm ist. Weißt du darüber irgendwas? Und wie könnte man das nachweisen? An sich müsste ich mir dann ja die Funktionale auf L(X,Y) anschauen, aber leider weiß ich nicht genau wie diese aussehen.

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Hallo,

die Aussage über die lp-Räume dürfte sich in vielen Funktionalanalysis-Büchern finden.

Ansonsten bin ich Pensionär und habe die Sachen alle nicht mehr im Detail präsent, auch Deine 2. Frage.

Gruß Mathhilf

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Okay, trotzdem vielen Dank für die Hilfe! :)