Relationen Symmetrie, Reflexivität und Transitivität

Question

Aufgabe:

E ist die Menge aller Enten. Die folgenden Relationen müssen im Hinblick auf Symmetrie, Reflexivität und/oder Transitivität untersucht werden

R₁ = {(A;B) | B wurde von A ausgebrütet}
R₂ = {(A;B) | (Es existiert ein)C (ist Element von) E: (C, A) (ist Element von) R1 (und) (C, B) (ist Element von) R₁}

Problem/Ansatz:

Es geht nur um R2 (bei R1 weiß ich, dass es nichts von den 3 ist).

Ich bin mir sicher dass es symmetrisch ist, da die Aussage bedeutet, die Ente C hat Ente A und B ausgebrütet (d.h. sie hat auch umgekehrt, also B und A ausgebrütet)

Ich denke mir reflexiv wird es nicht sein weil keiner der Enten kann sich selbst ausbrüten

Aber wie ist es mit Transitiv? Ich denke mir dass man da mit Ente D sich was denken muss. Aber denkt man sich da, wenn Ente C auch D ausgebrütet hat, ob dann A auch D ausbrütet oder sowas? Für mich würde das keinen Sinn machen, also würde ich auch hier denken, dass es nicht transitiv ist.

Answer 1

Deine verbale Beschreibung ist soweit korrekt. Arbeite doch damit. Du musst zeigen:

Wenn \(A\sim_{R_2} B\) und \(B \sim_{R_2} C\) dann ist auch \(A \sim_{R_2} C\).

Versuche das mal anhand deiner verbalen Beschreibung zu überprüfen. Dann solltest du die Transitivität schnell sehen.

Ich denke mir reflexiv wird es nicht sein weil keiner der Enten kann sich selbst ausbrüten

Das sagt die Relation \(R_2\) aber gar nicht aus.

Answer 2

Der Text von R2 heißt übersetzt: Es gibt eine Ente C, die sowohl A als auch B ausgebrütet hat´.

Das kann man klarer formulieren: Die Enten A und B stehen zueinander in Relation, wenn sie "Geschwister" sind (wenn sie von der gleichen Ente C abstammen).

Wenn A von C abstammt, stammt auch A von C ab.

Wenn A und B von C abstammen, stammen auch B und A von C ab.

Wenn A und B von C abstammen,und wenn B und D von C abstammen -- was ist dann mit A und D?

Comments

Womöglich wäre die Aufgabe nicht mit Enten gestellt worden, wenn "abstammen" und "ausgebrütet werden" dasselbe wäre.

Wahrscheinlich schon wieder zu spitzfindig.
Vermutlich soll man doch davon ausgehen, dass jede Ente von einer Ente (und nicht von einer Brutmaschine) ausgebrütet wird und zwar von genau einer (und nicht abwechselnd von mehreren).

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Ich finde das nicht spitzfindig, denn ersetzt man ausbrüten durch abstammen, dann wäre \(R_1\) transitiv.

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Ja, ich hätte statt "abstammen" den Begriff "direkt abstammen" verwenden sollen (oder es bei "ausgebrütet werden" belassen sollen).