Gibt es einen Unterschied zwischen Varianz und empirischer Varianz?

Question

Aufgabe: Gibt es einen Unterschied zwischen Varianz und empirischer Varianz?

In unserem KC für das Abi werden beide Begriffe genutzt.

Danke

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ja, es gibt einen Unterschied.

1) Erwartungswert bekannt

Sind alle möglichen Werte \(x_i\) einer Zufallsvariablen \(X\) mit den zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten \(p_i\) bekannt, kannst du den exakten Erwartungswert \(\mu\) bestimmen. Die Varianz ist in diesem Fall:$$V(X)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2\quad;\quad\mu\coloneqq\sum\limits_{k=1}^np_ix_i$$

2) Erwartungswert durch Mittelwert angenähert

Praktisch kennt man fast nie alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen \(X\). Bei Erhebungen wie Körpergröße, Einkommen, Nebenwirkungen... sammelt man eine Stichprobe aus \(n\) Versuchen des Zufallsexperimentes für \(X\). Da nicht alle Werte von \(X\) bekannt sind, kann man auch keine Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieser Werte bestimmen. Wenn jedoch ein Wert für \(X\) wahrscheinlicher ist, wird er bei \(n\) Versuchen entsprechend häufiger vorkommen.

Man kann den exakten Erwartungswert \(\mu\) der Zufallsvariablen \(X\) durch den Mittelwert aller Versuche abschätzen:$$\mu\approx\left<X\right>\coloneqq\frac1n\sum\limits_{i=1}^nx_i$$Dieser Mittelwert \(\left<X\right>\) hat jedoch gegenüber dem exakten Erwartungswert \(\mu\) eine Abweichung, die umso geringer ist, je mehr Versuche \(n\) durchgeführt werden. Diese Abweichung pflanzt sich in die Formel für die Varianz fort. Eine recht aufwändige Rechnung liefert einen einfachen Weg, wie man diese Abweichung zwischen \(\mu\) und \(\left<X\right>\) in der Varianz berücksichtigen kann, man dividiert nicht durch \(n\), sondern durch \((n-1)\):$$V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n\left(x_i-\left<X\right>\right)^2\quad\text{(empirische Stichprobenvarianz)}$$

Answer 2

Die Varianz sollte die tatsächlich vorhandene Varianz sein.

Die empirische Varianz ist die Streuung zwischen den Werten einer gezogenen Stichprobe.

Wenn eine Grundgesamtheit eine gewisse Varianz aufweist und zwei Personen jeweils separat eine Stichprobe ziehen, so werden vermutlich in beiden Stichproben die Werte unterschiedlich streuen, die gewonnenen empirischen Varianzen also unterschiedlich groß sein.