Faden um Kreiszylinder

Question

Aufgabe: Faden um Kreiszylinder

Hey Leute,

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen, ich komme nicht weiter.

Welche Abmessungen muss man einem Kreiszylinder mit möglichst großer Mantelfläche geben, damit ein Faden gegebener Länge ݈ einmal schraubenförmig um ihn gesponnen werden kann?

Mir ist bekannt, dass das Abwickeln der Mantelfläche des Kreiszylinders ein Rechteck ergibt, und
der Faden bildet dann die Diagonale. Weiter komme ich nicht.

MfG

Answer 1

Hallo

stell dir den Zylindermantel aufgeschnitten vor, dann leg den Faden auf das Rechteck

dann siehst du  dass das die diagonale ist, jetzt kennst du die Länge der Diagonalen Herrn Pythagoras und die Flächenformel für ein Rechteck

Alles klar?

lul

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Danke, nun weiß ich, wie das geht

Answer 2

Hallo,

Mir ist bekannt, dass das Abwickeln der Mantelfläche des Kreiszylinders ein Rechteck ergibt, und
der Faden bildet dann die Diagonale.

Ja genau - und das flächenmäßig größte Rechteck bei gegebener Diagonale ist ein Quadrat. Das kann man auch ausrechnen ... die Abmessungen des Rechtecks seien \(a\) und \(b\). Dann ist die Fläche \(A\)$$A = a \cdot b$$ und die Nebenbedingung$$a^2+b^2 = l^2$$wenn \(l\) die Länge des Fadens ist.

Der 'klassische' Ansatz wäre (den man in der Schule lernt)$$A = a \cdot b = a \cdot \sqrt{l^2-a^2}\\A'(a) = \sqrt{l^2-a^2} + \frac{-2a^2}{2\sqrt{l^2-a^2}} \to 0 \\ \implies 2l^2-4a^2 = 0 \implies a_{1,2} = \pm\frac l2\sqrt 2$$es gilt nur der positive Wert und Einsetzen in die Nebenbedingung liefert dann den gleichen Wert für \(b\).

Gruß Werner

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Alles klar, ich habe es endlich kapiert. Vielen Dank für die tolle Erklärung!