Wie sind Breite und Höhe des Balkens mit maximaler Tragfähigkeit zu wählen?

Question

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I45. Die Tragfähigkeit eines Balkens mit rechteckigem Quersschnitt (Breite B Höhe H) ist proportional zu \( B \cdot H^{2} \). Aus einem Baumstamm mit \( 30 \mathrm{~cm} \) Durchmesser soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gesägt werden.
(a) Wie sind Breite und Höhe des Balkens mit maximaler Tragfähigkeit zu wählen?
(b) Um wieviel Prozent steigt die Tragfähigkeit ungefähr, wenn der Baumstamm \( 31 \mathrm{~cm} \) Durchmesser hat. Löse die Aufgabe ohne die Optimierungsaufgabe neu zu lösen.

Aufgabe: könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

Answer 1

Zielfunktion:

\(T(B,H)=B\cdot H^2\) soll maximal werden.

Nebenbedingung:

\(B^2+H^2=900\)→  \(H^2=900-B^2\)

\(T(B)=B\cdot (900-B^2)=900B-B^3\)

\(T´(B)=900-3B^2\)

\(900-3B^2=0\)→

\(B^2=300\)       \(H^2=600\)

\(B=10\sqrt{3}\)       \(H=10\sqrt{6}\)

Answer 2

Zielfunktion f(B,H)= B*H^2

Nebenbedingung B^2 + H^2 = d^2

Answer 3

Der Durchmesser des Baumstamms entspricht der Länge der Diagonalen in der Querschnittsfläche des Balkens.

Damit gilt H² = (30cm)²-B².

Da die Tragfähigkeit proportional zu \( B \cdot H^{2} \) ist, wird sie maximal, wenn \( B \cdot H^{2} \) maximal ist.

Wegen H² = (30cm)²-B². lässt sich \( B \cdot H^{2} \) als \( B \cdot (900-B^2)\) schreiben.