Die Tragfähigkeit eines Balkens hängt von der Form seines Querschnitts ab.. (Extremwertaufgabe)

Question

Die Tragfähigkeit eines Balkens hängt von der Form seines Querschnitts ab.

Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach der Formel

T=k*b*h^2, wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und h die Höhe des Balkens ist. Für den vorliegenden Eichenstamm gilt k = 1/6.

Ein Balken wird aus einem 30cm dicken Eichenstamm m8it kreisförmigen Querschnitt (Radius r) angefertig. Wie sind die Maße zu wählen, damit seine Tragfähigkeit möglichst groß wird.

Wie ich die Aufgabe versucht habe:

1) Hauptbedingung: T(b,h) = (1/6) * b * h^2

2) Nebenbedingung: (b^2+h^2)^{1/2} = 30cm | ()^2

b^2 + h^2 = 900 | - b^2

h^2 = 900 - b^2

3) Zielfunktion bilden: T(b) = (1/6) * b * (900 - b^2)

T(b) = (1/6) * 900b - b^3

T(b) = 150b - b^3

4) Extremwerte finden:

T '(b) = -3b^2 + 150 = 0

T ''(b) = -6b

abc-Formel:

b₁ = 7,071

b₂ = -7,071

T''(7,071) = -6*7,071 = -42,426 (Hochpunkt)

5) Unbekannte bestimmen:

h^2 = 900 - 7,071^2 = 850 | Wurzel

h = 29,155

6) Ergebnis:

T = (1/6) * 7,071 * 29,155^2 = 1001,742

Stimmt das soweit?

Comments

Bei 3) ist dir beim ausmultiplizieren ein Fehler unterlaufen. Du musst auch das b^2 mit 1/6 multipliziern.

Answer 1

NB

b^2 + h^2 = 30^2 --> h^2 = 900 - b^2

HB

T = k·b·h^2 = 1/6·b·(900 - b^2) = 150·b - 1/6·b^3

T' = 150 - 1/2·b^2 = 0 --> b = √300 = 17.32 cm

h = √600 = 24.49 cm

Comments

Da hätte ich mir einige Schritte wirklich sparen können. Und das ich nur b mit den Klammern multipliziert habe, war nicht gut von mir.