Question

Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetzten Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8m^2 groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird ?

Comments

Oder meinst du den Umfang ?

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Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass der Umfang minimiert werden soll.

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Danke ! War mir nicht ganz klar .

Answer 1

Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetzten Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird ?

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2 --> h = a/(2·r) - pi·r/4

U = 2·h + 2·r + pi·r = 2·(a/(2·r) - pi·r/4) + 2·r + pi·r = a/r + r·(pi + 4)/2

U' = (pi + 4)/2 - a/r^2 = 0 --> r = √(2·a/(pi + 4))

b = 2·√(2·a/(pi + 4)) = 1.058·√a

h = a/(2·√(2·a/(pi + 4))) - pi·√(2·a/(pi + 4))/4 = √(2·a/(pi + 4)) = 0.5292·√a

Die Breite sollte doppelt so lang sein wie die Höhe.