Kommt immer wieder. Bei allen verwandten Aufgaben, welche eckige Figuren mit einem Kreis verbinden, kommt der selbe trick zum Tragen. D.h. wer immer so fragt wie du, gibt damit zu erkennen, dass er diesen Trick noch nicht kennt. ( Oft ist es auch ein Olympiastadion. ) Zum Einsatz kommt das Verfahren des Giuseppe Lodovico Spaghetix Lagrangia da Torino. Wir beginnen mit Haupt-und Nebenbedingung. Die Querschnittsfläche
F ( x , y ; r ) := x y + ( Pi / 2 ) r ² = max ( 1a )
der Umfang
U ( x , y ; r ) := x + 2 y + Pi r = 20 = const ( 1b )
x und y mögen die selbe Bedeutung haben wie üblich; x = horizontal, y = vertikal. Vielleicht denkst du ja sehr aufmerksam mit und wendest ein, hey, r ist doch nicht unabhängig zudenken. In unserer Notation wäre doch x = 2 r . Das genau ist aber der Trick; wenn du r durch x ausdrückst, passiert doch genau das, was man bei Pappa Lagrange gerne vermieden hätte. Du verwurstelst die Variable x mit dieser transzendenten, unnatürlichen, ihr völlig wesensfremden Konstante Pi . Genau darum versucht man das Einsetzen ja immer zu vermeiden. Du bist noch jung und unternehmungslustig; du magst es gerne selber ausprobieren.
Ich jeden Falls lasse " Pilze " zu; r ist nicht an x gebunden. Der Schirm mag über kragen oder auch gedrungen sein. Lassen wir uns überraschen; drei Variable mit nur einer Nebenbedingung schafft Lagrange an sich spielend. Den Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Wir müssen demnach die Linearkombination bilden
H ( x , y ; r ) := F ( x , y ; r ) - k U ( x , y ; r ) ( 2 )
Notwendige Bedingung für Maximum: Der Gradient von H verschwindet .
H_x = y - k = 0 ( 3a )
k = y ( 3b )
H_y = x - 2 k = 0 ( 3c )
( 3b ) einsetzen in ( 3c )
x = 2 y ( 3d )
Ddie antwort: Der tunnel ist doppelt so breit wie hoch. Und was hat es jetzt mit r auf sich?
H_r = Pi ( r - k ) = 0 ( 4a )
wieder einsetzen von ( 3b )
r = y | * 2 ( 4b )
2 r = 2 y = x ( 4c )
Und zwar ( 4c ) wegen ( 3d ) Ganz überraschend; eine zusätzliche Nebenbedingung an r ist also völlig unnötig. Ich bezeichne dies als natürliche Nebenbedingung.
