Tragfähigkeit eines Balkens berechnen

Question

Hi, hab eine Aufgabe:

Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h.


Jetzt soll aus einem Baumstamm mit Radius 20 cm ein Balken mit maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden.


Wie macht man das?


Ich hätte jetzt auf folgendes getippt:


f(x) = b * h^2

und h = √(d ^2- b^2)


Also f(x) = b * (√(d ^2- b^2))^2 = b* d^2-b^2 = b^3 * d^2 = b^3 * 1600


Und dann halt den Hochpunkt bestimmen.


Aber ich hab im Internet gelesen, dass man noch so eine Materialkonstante oder so braucht, also:

f(x) = b * h^2 * k(konstante)


Aber warum? Und wie kann man die bestimmen? Weil unbekannt kann man die nicht lassen, weil man ja schon eine unbekannte in der Funktion hat, und 2 gehen ja nicht, oder?


Danke schon mal


LG


d ist der Durchmesser (hier die Hypotenuse) und b ist die Breite.

Answer 1

Ich mache mal eine Skizze eines viertel Baumstammes

Die Kreisfunktion ist damit

y = √(100 - x^2)

Die Tragfähigkeit ist also proportional zu

T = 2·x·(2·√(100 - x^2))^2 = 8·x·(100 - x^2) = 800·x - 8·x^3
T' = 800 - 24·x^2 = 0
x = 10/3·√3 = 5.773502691

y = √(100 - (10·√3/3)^2) = 10/3·√6 = 8.164965809

Die Breite sollte also etwa 11.55 cm und die Höhe etwa 16.33 cm betragen.

Comments

Hi, danke für die Antwort.

Aber ich verstehe nicht, wie du das gemacht hast?

Wieso ein viertel eines Baumstammes?


Bzw. wie kommt man auf die Funktion eines Kreises, wenn man sie nicht weiß? Sich sowas herzuleiten ist doch schwer oder?
Danke schon mal

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Weil der Rest ja sicher symmetrisch ist. D.h. es ergibt sich durch Spiegelung an der y-Achse die linke Seite und durch Spiegelung an der x-Achse danach die untere Hälfte.

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Ja, aber wie kommt man auf die Kreisfunktion?

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Oh. Ich habe hier einen Baumstamm vom Durchmesser 20 cm genommen.

Er sollte allerdings den Radius 20 cm haben.

Das macht aber nichts es würde für 20 cm genau so gerechnet werden. Man bekommt dann halt doppelt so große Werte heraus.

Du kannst es ja also für einen Radius von 20 cm nachrechnen.

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Die Kreisgleichung ist

x^2 + y^2 = r^2

Das kann ich einfach nach y auflösen

y = √(r^2 - x^2)

Eigentlich hattest du das gleiche und hast es nur anders benannt

h = √(d ²- b²)

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Also war meine Lösung nicht falsch?

Weil bei mir kommt so eine riesen Zahl raus als Ergebnis

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Dein Ansatz sieht richtig aus. Du hast ja leider deinen Lösungsweg und dein Ergebnis hier nicht angegeben gehabt. Und dann hast du irgendwo etwas verkehrt aufgelöst.

f(b) = b·(d^2 - b^2) = b·d^2 - b^3

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hab ich doch gemacht?


Meine Zielfunktion war f(x) = x^3 * 1600


aber da gibt es keinen Hochpunkt, weil es eine x^3 - Funktion ist. Die hat ja keinen Hochpunkt. Deswegen wird das etwas schwierig zu berechnen

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Okay, hab mich wirklich verrechnet.


Aber auch mit dieser Funktion


f(b) = b·(d2 - b2) = b·d^2 - b^3


Kann ich keinen Hochpunkt bestimmen, weil die keinen hat (also aufm GTR finde ich keinen)

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Oh, habe doch einen gefunden. Mom ich schaue, ob ich damit auf das gleiche Ergebnis komme wie du

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Achte darauf das meine Ergebnisse um den Faktor 2 zu klein Sind. Hab ja nur mit dem Radius von 10 gerechnet. Also solltest du genau das doppelte heraus bekommen wie ich.

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Ja, bekomme das Gleiche Ergebnis.


Danke :D

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Die Frage ist zwar schon sehr alt, und ich befürchte, dass mir niemand antworten wird... aber ich habe ebenfalls eine solche Aufgabe, nur mit anderen Werten und verstehe nicht wo hier die 2 herkommt, also die vor dem x und dem h

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Die Frage ist zwar schon sehr alt, und ich befürchte, dass mir niemand antworten wird... aber ich habe ebenfalls eine solche Aufgabe, nur mit anderen Werten und verstehe nicht wo hier die 2 herkommt, also die vor dem x und dem h

Gegenfrage. Wie breit und wie hoch ist denn der Balken?

Also z.B. der oben eingezeichnete.