Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000l gewählt werden, damit der …

Question

Aufgabe:

Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000l gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?

Answer 1

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h --> h = V / (pi·r^2)

Hauptbedingung

O = pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = pi·r^2 + 2·pi·r·(V / (pi·r^2)) = pi·r^2 + 2·V/r

O' = 2·pi·r - 2·v/r^2 = 0 → r = (V/pi)^{1/3}

h = V / (pi·((V/pi)^(1/3))^2) = (V/pi)^{1/3} = r

Answer 2

Hauptbedingung

Blechverbrauch ist Grundfläche plus Mantel

Nebenbedingung

Volumen ist 1000

Zielfunktion

Nebenbedingung nach einer der Variablen auflösen und in Hauptbedingung einsetzen.

Dann Tiefpunkt der Zielfunktion bestimmen.

Answer 3

O= 2*r^2*pi = 2r*pi*h

V= 1000 = r^2*pi*h

h= 1000/(r^2*pi)

O(r) = 2*(r^2*pi+ 1000/r)

O'(r) = 0

2*(2r*pi-1000/r^2) =0

r*pi-500/r^2 = 0

r^3*pi -500 = 0

r= (500/pi)^(1/3) = 5,42 dm