Obergrenze des 84%-Konfidenzintervall für den Anteil Blindgänger bei Feuerwerkskörpern

Question

Aufgabe:

Bei einem Hersteller von Feuerwerkskörpern häufen sich die Beschwerden über Blindgänger. Um den Anteil an Blindgängern in der Produktion zu schätzen, wird eine Stichprobe von 70 Raketen untersucht, wobei 14 Stück nicht wie gewünscht funktionieren.

Bestimmen Sie die Obergrenze des 84%-Konfidenzintervall für den Anteil Blindgänger

Problem/Ansatz:

Habe fast die selbe Frage bereits gefunden:

https://mathelounge4.rssing.com/chan-53303042/article19168-live.html

Mit der Antwort: Bei R
binom.test (9, 50, conf.level = 0.84)

Ich habe das mit meinen Werten probiert, die Lösung ist aber falsch.

Weiterhin habe ich es versucht von Hand auszurechnen mit der Formel

 \overline{x}+z_{(1-\frac{\alpha}{2})}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

wobei ich als z-Quantil 0,92, also 1,4051 genommen habe da ja (1-0,8).

Weiterhin habe ich es sowohl versucht als x den Mittelwert, also 42 einzusetzen oder den Anteil der Blindgänger an der Stichprobe, also 0,2.

Egal, was ich versuche, ich komme auf keine Lösung und wäre über Hilfe wirklich sehr dankbar!

Hab es rausgefunden:

Der Anteil ist x, also 0,2, dann das Quantil und den Bruch komplett unter die Wurzel, also Wurzel aus 0,2*(1-0.2)/70!

Answer 1

Ich kenne 3 Methoden zur Bestimmung eines Konfidenzintervalls für den Anteilswert \( p \)


1. Methode

\( p \) ist Lösung der Gleichung
$$ (n+c^2)p^2−(2k+c^2)p+\frac{k^2}{n}=0 $$ Voraussetzung ist hier \( np(1−p)>9 \) gilt

Hier käme \( p \in [0.141,0.275] \) heraus.


2. Methode (Normalverteilung)

Hier gilt bei \( k \ge 50 \) und \( n−k \ge 100 \)
$$ \frac{k}{n} - \frac{c}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{k}{n} \left(1 - \frac{k}{n} \right) } \le p \le \frac{k}{n} + \frac{c}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{k}{n} \left(1 - \frac{k}{n} \right) } $$ Die Voraussetzung ist aber hier nicht erfüllt.

Ergebnis wäre \( p \in [0.133,0.267] \)

3. Methode (Exakte Methode)
$$ (1) \quad \sum_{i=k}^n \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} = \frac{1}{2}(1-\gamma) $$ $$ (2) \quad \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} = \frac{1}{2}(1-\gamma) $$
mit \( \gamma \) = Konfidenzniveau, hier \( 0.84 \)

und hier ist das Ergebnis \( p \in [0.134,0.282] \)

Dein Ergebnis ist aber auf jeden Fall falsch.

Comments

Hatte es dann mit der untersten Methode geschafft auszurechnen. Danke trotzdem für die Hilfe!