Bestimme Sie alle a, b ∈ ℂ, so dass

Question

Aufgabe:

Sei a, b ∈ ℂ und A := \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & -a & b \end{pmatrix} \) ∈ ℂ^2x3

A*A^T = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2*a^2+b^2 \end{pmatrix} \)

Bestimme Sie alle a, b ∈ ℂ, so dass

rang A*A^T ≠ rang A

Problem/Ansatz

Ich habe die Aufgabe verstanden, am besten muss man a und b so bestimmen, dass sie bei A nicht 0 ergibt und bei A*A^T schon. Also muss die Gleichung 2*a^2+b^2 = 0 sein, damit der rang unterschiedlich ist. Jedoch weiß ich jetzt nicht, wie man das genau löst ... Es hat höchstwahrscheinlich was mit den Komplexen zahlen zu tun ...

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus.

Answer 1

Also muss die Gleichung 2*a^2+b^2 = 0 sein, damit der

Rang unterschiedlich ist.     Fast !

ABER: Es darf nicht a=b=0 sein; denn dann hat A auch den Rang 1.

Also suchst du alle a,b ∈ℂ (nicht beide =0) mit

2*a^2+b^2 = 0

<=>  (a√2+i*b)( a√2-i*b)=0

<=>  a√2+i*b=0  oder a√2-i*b=0

<=> a = -ib/√2    oder   a = ib/√2

Also gibt es zu jedem b≠0 zwei mögliche Werte von a,

für die das möglich ist.

Comments

danke für die hilfreiche antwort!

das löst das problem auch!