Vollständige Induktion (vielleicht Index Shift?)

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 \cdot n+1)}{6} \)

soll mit vollständiger Induktion über n bewiesen werden.

Problem/Ansatz:

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, meine Vermutung ist, dass man den Index Shift benutzen soll.

Answer 1

Zum Induktionsschritt:$$\sum_{i=1}^n i^2+(n+1)^2\stackrel{IV}{\;=\;}1/6(n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2)=\\=1/6(n(2n+1)+6(n+1))(n+1)=1/6(2n^2+7n+6)(n+1)=\\=1/6(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)$$

Comments

Hi,

danke für die Antwort, aber mir sind noch paar Sachen unklar.

1. Ich verstehe nicht woher das (n + 1)^2  im ersten Schritt kommt.

2. Ersetzt du i^2 mit (n*(n+1)*(2n + 1))/6 mittels der IV?

3. Wieso multiplizierst du im zweiten Schritt 6 und (n+1)^2

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Du willst \(\sum^{n+1}i^2=\sum^n i^2+(n+1)^2\) berechnen, oder ?

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Achso du splittest quasi die Summe und das letzte Element ist ja n+1

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Genau! Und die Summe bis n kann ich vermittels IV ersetzen.

Das (n+1)^2 bringe ich auf den Hauptnenner 6.

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Alles klar, vielen dank!