Wie funktioniert ein Index-Shift bei einer Summation?

Question

Aufgabe:

Wie funktioniert ein Index-Shift bei einer Summation?

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{(k-2) !} e^{-\lambda} \)

Problem/Ansatz:

Ich sehe immer wieder mal solch einen Index-Shift, verstehe jedoch nicht, wie sich dadurch ein Term genau verändert. Kann mir jemand erklären, was beim Index-Shift zu beachten ist?

Comments

Das ist gar kein Index-Shift. Es wurden die ersten beiden Summanden aus der Summe herausgezogen und in der Summe wurden wurden die beiden ersten Faktoren gegen die Fakultät gekürzt.

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Also der Prof meinte hier, dass ein Index-Shift durchgeführt wird. Keine Ahnung, was die Definition eines Index-Shifts ist, aber benutze die Definition meines Professors.

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Mit einem Index-Shift kann man die Reihe nun wieder bei Null beginnen lassen. Dazu muss man nur k:=(i+2) festlegen und damit dann alle k ersetzen.

Answer 1

Wenn du für k = 0 einsetzt dann wird der Term 0. Damit kannst du k = 0 weglassen.

Wenn du für k = 1 einsetzt dann wird der Term 0. Damit kannst du k = 1 weglassen.

Damit brauchst du nur k = 2 bis unendlich nehmen.

Dann vereinfachst du noch den Term

k * (k - 1) / k ! = k * (k - 1) / ((k - 2)! * (k - 1) * k) = 1 / (k - 2)!

Comments

Kann man Zahlen weglassen bei denen der Wert ungleich Null ist?

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0 + 0 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3

Die Nullen dürfen wir weglassen, die Werte ungleich Null natürlich nicht

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Jo, meinte damit, ob man paar weglassen kann und einfach den Term den man aufsummiert irgendwie transformiert, damit es klappt, aber glaube das wäre zu kompliziert bzw. hoffe dass sowas nicht drankommt