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Indextransformation bei \(\sum 2^{i-5}\) mit Indexlauf ab \(i=12\)
Um die Index-Transformation für die gegebene Summe \(\sum 2^{i-5}\), wobei der Index \(i\) bei 12 beginnt, so durchzuführen, dass die untere Indexgrenze \(m = 0\) und die obere Indexgrenze \(n = 50\) liegt, gehen wir wie folgt vor:
1.
Verstehen der gegebenen Situation: Wir haben eine Summe, die bei \(i = 12\) beginnt. Die Aufgabenstellung, die Indexgrenzen so zu ändern, dass \(m = 0\) und \(n = 50\) sind, bedeutet, dass wir den Ausdruck und den Laufindex der Summe so transformieren müssen, dass die neue Summe bei \(m = 0\) startet und bei \(n = 50\) endet.
2.
Durchführung der Transformation: Die ursprüngliche Untergrenze ist 12, d.h., \(i\) startet bei 12. Um dies auf einen Startwert von 0 zu ändern, führen wir einen neuen Index \(m\) ein, wobei gilt:
\(
m = i - 12
\)
Daher kann \(i\) umgeschrieben werden als:
\(
i = m + 12
\)
3.
Anwendung der Transformation im gegebenen Ausdruck: Der ursprüngliche Term \(2^{i-5}\) wird unter Verwendung der neuen Indexdefinition transformiert, indem wir \(i\) ersetzen:
\(
2^{(m + 12) - 5} = 2^{m + 7}
\)
Somit lautet der transformierte Ausdruck:
\(
\sum 2^{m + 7}
\)
4.
Bestimmung der oberen Grenze: Da noch unklar ist, wie die obere Grenze \(n = 50\) zu verstehen ist, da keine spezifischen Informationen über die Änderung der Summierungsgrenzen gegeben wurden, ist es wichtig zu verstehen, dass eine direkte Anpassung der oberen Grenze auf \(n = 50\) ohne kontextuelle Begründung oder weitere Informationen schwierig ist. Die Angabe \(n = 50\) könnte ein Tippfehler oder ein Missverständnis sein, da die Transformation normalerweise nicht die Anzahl der Summationsschritte, sondern ihre Ausgangs- und Endpunkte anpasst.
Wie findet man jeweils die Zahl für x heraus?
Angesichts der ursprünglichen Fragestellung, wo \(x = 22\), scheint es, als ob diese Information nicht direkt in die Indextransformation oder Berechnung integriert ist. Wenn wir uns auf die Summation konzentrieren, hängt der Wert von \(x\) mit der Auswertung der Summe zusammen. Der gegebene Ausdruck \(x=22\) und die Summenformel scheinen jedoch nicht direkt miteinander verbunden zu sein, außer dass es eventuell eine verwirrende Formulierung in der Aufgabenstellung gibt. Ohne zusätzlichen Kontext bezieht sich \(x = 22\) nicht offensichtlich auf die Ergebnisse der Summation oder den Indextransformationsprozess.
Für die Berechnung der Summe oder Bestimmung eines spezifischen Wertes für \(x\) basierend auf der Summe müssten spezifische Grenzen und die Gesetzmäßigkeiten der Summation klar definiert und im Voraus bekannt sein.
