Summen mit Hilfe eines Index-Shiftes berechnen

Question

$$\text{Berechnen Sie folgende Summen mit Hilfe eines Index-Shiftes:}\\\text{1) } \sum \limits_{j=2}^{n+2} 2^{j-2} \\\text{2) } \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j(j+1)} \\\text{Hinweis: Nutzen Sie bei Aufgabenteil (ii) aus, dass sich der Bruch } \frac{1}{j(j+1)} \text{ als Summe/Differenz der Brüche }\\ \frac{1}{j} \text{ und } \frac{1}{j+1} \text{ schreiben lässt.}$$


Zur 1) habe ich nach dem Index-Shift $$\sum \limits_{j=0}^{n} 2^{j}$$ leider verstehe ich aber nicht so ganz, wie man denn nun die Summen berechnen soll. Wir haben ja keine Vorgabe für n und die Formel 2^j ist ja ziemlich offensichtlich.
Zur 2) habe ich leider keine Idee wie ich dort ran gehen soll.

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Stichwort zu 1): geometrische Summe

Zu 2) Wenn Du den Bruch in eine Differenz umgeschrieben hast, kannst Du aus der Gesamtsumme eine Differenz aus 2 Summen machen. Auf eine davon wendest Du einen Index-Shift an.

Answer 1

Aloha :)

Eine ganz wichtige Reihe ist die geometrische Reihe:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\text{für }q\ne1$$Das kannst du dir klarmachen, indem du von \(S_n\) das \(q\)-fache subtrahierst:$$S_n-q\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^nq^k-q\cdot\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=0}^nq^{k+1}=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=0\pink{+1}}^{n\pink{+1}}q^{(k\pink{-1})+1}$$$$\phantom{S_n-q\cdot S_n}=\sum\limits_{k=0}^nq^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^k=\left(q^0+\sum\limits_{k=1}^nq^k\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}q^k+q^{n+1}\right)=q^0-q^{n+1}$$Klammern wir nun ganz links \(S_n\) aus, erhalten wir:$$S_n(1-q)=1-q^{n+1}\implies S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Damit ist die erste Summe nun klar:$$\sum\limits_{k=2}^{n+2}2^{k-2}=\sum\limits_{k=2\pink{-2}}^{n+2\pink{-2}}2^{(k\pink{+2})-2}=\sum\limits_{k=0}^n2^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1$$

Bei der zweiten Summe gibt der Tipp den Rechenweg vor:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{1}{(k\pink{-1})+1}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac1k$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}=\left(\frac11+\sum\limits_{k=2}^n\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac1k+\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

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Wow! Vielen Dank für diese ausführlichen Rechenwege! Ich habe es jetzt verstanden! DANKE!

Answer 2

\( \sum \limits_{j=2}^{n+2} 2^{j-2}\)

Damit der Exponent möglichst eine einfache Variable ist

ersetze j durch j+2, Dann startet die Summe mit j=0 und

geht bis n. Und der Exponent ist einfach nur j.

Das gibt dann  \( \sum \limits_{i=0}^{n} 2^{i}  \)

Mit der Summenformel für die geom. Reihe bekommst du

\( \sum \limits_{i=0}^{n} 2^{i} = \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 2^{n+1}-1\)

2)  \( \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j(j+1)} =  \sum \limits_{j=1}^{n} (\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1})  = \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j} - \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{1}{j+1} \)

Und wenn du die beiden Summen vergleichst haben die beinahe

die gleichen Summanden. Die erste fängt bei 1 an und endet bei \(\frac{1}{n}\),

die zweite fängt an mit \(\frac{1}{2}\) und endet bei \(\frac{1}{n+1}\).

Also heben sich die meisten Summanden gegeneinander auf und

das Ergebnis ist 1- \(\frac{1}{n+1}\).

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Vielen Dank :)