Term-Umformungen zum Schmetterlingssatz

Question

Aufgabe:

Hintergrund: Es handelt sich um eine Aufgabe zum Schmetterlingssatz.

$$\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{e f}{g h}=\frac{(p-x)(q+x)}{(p+y)(q-y)}=\frac{p q-x(q-p)-x^{2}}{p q+y(q-p)-y^{2}}$$

zu

\( p q(y-x)=x y(q-p) \)

vereinfachen

Problem/Ansatz:

Ich habe schon viele Umformungen ausprobiert, jedoch komme ich nicht auf die Gleichung wie sie in der Lösung steht.

Answer 1

x^2 / y^2 = (p·q - x·(q - p) - x^2) / (p·q + y·(q - p) - y^2)

x^2·(p·q + y·(q - p) - y^2) = y^2·(p·q - x·(q - p) - x^2)

p·q·x^2 + x^2·y·(q - p) - x^2·y^2 = p·q·y^2 - x·y^2·(q - p) - x^2·y^2

p·q·x^2 + x^2·y·(q - p) = p·q·y^2 - x·y^2·(q - p)

p·q·x^2 + x^2·y·(q - p) - p·q·y^2 + x·y^2·(q - p) = 0

p·q·(x^2 - y^2) + x·y·(q - p)·(x + y) = 0

p·q·(x + y)·(x - y) + x·y·(q - p)·(x + y) = 0

(x + y)·(p·q·(x - y) + x·y·(q - p)) = 0

wenn x + y ≠ 0

p·q·(x - y) + x·y·(q - p) = 0

p·q·(x - y) = - x·y·(q - p)

p·q·(y - x) = x·y·(q - p)