Umformungen Summenzeichen zum zeigen, dass Summe durch m+1 teilbar ist?

Question

n,m∈ℕ und m ist gerade
Man soll zeigen dass die summe s* durch m+1 teilbar ist.
I.Wieso kann man obige Gleichung in diese umformen:
$$n(m+1)+\sum _{ i=0 }^{ m }{ i } $$

II. Und Wieso kann man $$\sum _{ i=0 }^{ m }{ i }$$ in$$\frac { m*(m+1) }{ 2 } $$
umformen?

Answer 1

n ist ein konstanter Wert und wenn Du Dir die rechte Seite der Gleichung anschaust und dort alle n's zählst, so sieht man, dass ein n genau m+1 mal vorkommt. Man kann auch schreiben $$ n+(n+1)+(n+2)+...+(n+m)=n\cdot(m+1)+ 1 +2+ ... +m= n\cdot(m+1)+\sum_{i=0}^mi$$

zur zweiten Frage: das ist die sogenannte Gaußsche Summenformel.

Gruß Werner