summanden aus Reihen / Reihenwert berechnen

Question

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Sie diurfen aus einer Reihe die ersten Summanden lösen und als einzelne Summanden vor
die Reihe schreiben:
$$ \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\sum \limits_{k=3}^{\infty} a_{k} $$
Nutzen Sie dies, um die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{6}{(k+2)^{2}} \) auf eine bekannte Reihe zuriickzuführen und bestimmen Sie den Reihenwert. ( Indexverschiebung )

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Answer 1

Hey mathislove,

Coole Aufgabe! (1) Indexverschiebung um 2 Einheiten in den Summanden nach unten, (2) die 6 rausziehen, (3) zwei Summanden abspalten und (4) dann eine der größten Errungenschaften der Mathematik der letzten 300 Jahre nutzen:

$$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{6}{(k+2)^2} \overset{(1)}{=} \sum\limits_{k=3}^\infty \frac{6}{k^2} \overset{(2)}{=} 6\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{1}{k^2}\overset{(3)}{=}6\left(\left(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}\right)-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right) \overset{(4)}{=}6\left(\frac{\pi^2}{6}-1-\frac{1}{4}\right)=\pi^2-\frac{15}{2}$$

Viel Spaß
MathePeter

Answer 2

∑ (k = 1 bis ∞) (6/(k + 2)^2)

= ∑ (k = 3 bis ∞) (6/k^2)

= 6 * ∑ (k = 3 bis ∞) (1/k^2)

= 6 * (-1/1 - 1/4 + 1/1 + 1/4 + ∑ (k = 3 bis ∞) (1/k^2))

= 6 * (-1/1 - 1/4 + ∑ (k = 1 bis ∞) (1/k^2))

= 6 * (-5/4 + ∑ (k = 1 bis ∞) (1/k^2))

= -7.5 + 6 * ∑ (k = 1 bis ∞) (1/k^2)

= -7.5 + 6 * pi^2/6

= -7.5 + pi^2

= pi^2 - 7.5