Untersuche die angegebene Folge (a_n)n∈ℕ auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuche die angegebene Folge (a_n)n∈ℕ auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert. Andernfalls finde alle Häufungspunkte oder gebe an, ob a_n ein uneigentlichen Grenzwert hat.

a_n= exp[(1+\( \frac{(-1)^n}{n} \))^n]

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Folge a_n mit den Rechenregeln für Exponentialfunktionen, in denen es heißt exp(z+w)=exp(z)*exp(w), auseinander zuziehen. Leider bin ich dort durch das hoch n am Ende nicht sehr weit gekommen, da man die Klammer ja nicht einfach auseinander ziehen kann. Auch die Regel exp(nz)=(exp(z))^n habe ich versucht anzuwenden, bin allerdings in eine Sackgasse geraten. Hat jemand von euch einen Tipp was ich mit dieser Folge machen kann?

Answer 1

Hey Jessi,

Die Folge $$a_n=\mathrm{e}^{\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)^n}$$ hat einen interessanten Exponenten. Du kannst dir nämlich merken, dass $$\mathrm{e}^x=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ gilt. Super wichtiger Grenzwert! Da jetzt \(x=(-1)^n\) bei ungeraden n gleich -1 und bei geraden n gleich 1 ist, hat die Folge \(a_n\) jetzt zwei Häufungspunkte, einmal bei \(\mathrm{e}^{{\mathrm{e}^1}}\) und einmal bei \(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{-1}}\). Wenn es zwei Häufungspunkte gibt, dann existiert kein Grenzwert und die Folge divergiert.

Liebe Grüße
MathePeter

Answer 2

Betrachte separat die beiden Teilfolgen, die man erhält, wenn man entweder nur geradzahlige oder aber nur ungeradzahlige Werte für n nimmt !

Wie man die Eulersche Zahl  e  als Grenzwert einer Zahlenfolge darstellen kann, ist dir wohl bekannt.