Aufgabe:
Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge komplexer Zahlen und \( a \in \) C. Beweise:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \quad \Longleftrightarrow \quad\left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{Re}\left(a_{n}\right)=\operatorname{Re}(a) \text { und } \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{Im}\left(a_{n}\right)=\operatorname{Im}(a)\right) \)
Untersuche die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \) mit \( a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\ldots+\frac{n}{n^{2}+n} \) auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert.
