Die Folge auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Die Folge auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen:

\( a_{0} \in[1,3), a_{n+1}=\sqrt{2 a_{n}+3} \)

Ansatz/Problem:

Mir geht es darum, wie ich a0 auffassen soll und wie ich damit weiter Glieder berechne.

a0 ist Element der Menge [1,3[ . Das verstehe ich irgendwie nicht. Um die Definition für den Nachweis für Konvergenz anzuwenden, brauch ich ja irgendwie einen Grenzwert. Ich hab das immer so hantiert, dass ich einfach paar Glieder berechnet habe( oder direkt gesehen), und dann eine Vermutung hinsichtlich des Grenzwert aufgestellt habe. Aber wie mache ich das, wenn mein a0 Element dieser Menge ist???

Answer 1

Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton und beschränkt ist. Du kannst versuchen dies per Induktion zu beweisen (also die Monotonie und Beschränktheit von \((a_n)\)).

Um erst mal eine Idee zu kriegen, ob das Ding konvergiert kannst du erst ein mal annehmen, dass sie konvergiert. Denn wenn das der Fall ist, d.h. \(a_n \rightarrow a\), dann gilt

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{2 a_n + 3} $$

und dies ist äquivalent zu

$$ a = \sqrt{2a+3}. $$

Durch Auflösen der Gleichung bekommst du Kandidaten für den Grenzwert, d.h. WENN die Folge wirklich konvergiert, DANN nimmt sie auf jeden Fall einen der so berechneten Werte als Grenzwert an. Es kann aber trotzdem sein, dass sie NICHT konvergiert, obwohl du einen "Kandidaten" für den Grenzwert gefunden hast!!

Wenn du in diesem Schritt ein sinnvolles \(a\) berechnet hast, kannst du einfach mal ein paar Werte einsetzen und schauen, was passiert. Nähert man sich von unten an \(a\) an? Ist Monotonie erfüllt?

Dann kannst du z.B. versuchen \(a_n \leq a_{n+1} \) zu zeigen per Induktion o.Ä. und danach aufgrund der obigen Beobachtungen eine Abschätzung \( c_1 \leq a_n \leq c_2\) mit geeigneten \(c_{1,2} \in \mathbb{R} \) per Induktion zeigen. 

\(a_0\) brauchst du dann bei den Induktionsbeweisen für den Induktionsanfang.