Ich habe folgende Folgen gegeben:
1) \( a_n=(\frac{5}{n})^n \)
2) \( a_n=\frac{1}{n}+2^\frac{1}{n} \)
3) \( a_n=\frac{2n}{3n^2+1} \)
4) \( a_n=\frac{n^3+n^2+1}{n^2+2} \)
Zu 1)
Hier beträgt der Grenzwert (für n gegen unendlich) 0. Ich habe dann die Definition der Konvergenz genutzt, also, dass man zu jedem epsilon >0 ein N element IN (das IN soll die Natürlichen Zahlen darstellen) finden soll, sodass für alle \( n \ge N \) gilt: \( |a_n-a|<\epsilon \), also hier: \( |a_n-0|<\epsilon \), woraus folgt: \( |(\frac{5}{n})^n-0| =(\frac{5}{n})^n\).
Also folgt: \( (\frac{5}{n})^n<\epsilon \to n >0 \)
Sei also \(\epsilon>0\) beliebig. Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein N element IN mit N>0. Sei \( n \ge N \) beliebig. Dann ist:\( |(\frac{5}{n})^n-0| =(\frac{5}{n})^n<\epsilon\)
Stimmt das so überhaupt?Bezüglich der anderen Aufgaben, die Grenzwerte kann ich bestimmten. Bei 2) ist er 1, bei 3) ist er 0, bei 4) + unendlich, nur weiß ich dort nicht wie ich die Konvergenz zeigen soll.
Eine Idee bezüglich der Konvergenz von 2) wäre: $$ \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+2^\frac{1}{n})= \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n})+\lim_{n\to\infty}(2^\frac{1}{n})=0+1=1 $$
